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Or, de l'équation bien connue 



on conclut 



n{n — i)\ Z„_,({z = — {ï — z-)'~j'=^, 

 moyennant quoi réquafion (7) donne 



In a, du reste, 



[ï- Z-) -^ = /i(2Z„_, - Z„), 



et il en l'ésulle finalement 



M^]-{-'r'^^=^ 



ou bien 



(8) u„(a;) = (-.r^^i^, 



pour 3 = 2X — . . 



)) Ainsi, la fonction U„, définie par l'équation (5), s'exprime très-sim- 

 plement à l'aide des fonctions de Legendre. 

 » On a 



z ^ 2(. — siii^ Jsin^y) — i = cos" J + sin- J cos2(j3. 



Cette valeur de z se déduira de l'expression suivante : 



(9) z = cos5cos5'4- sin5sin5'cos(']; — 1];'), 

 en y faisant 



(10) B = 0'=h <!/=: — f= 9. 



» Or, on sait trouver l'expression Z„ que prend la fonction X„ quand on 

 y remplace a; par l'expression (9); on a, en effet, la formule bien connue 



Z„ = X„ -X.„ H : ^ ; — - COS d/ — d> 



' \' 



{n — ■i)«(« + i) f/x^ ilx 



oÙj: = co.s5, a;'^cos5'. 



2sin'9sin=e' r/»X„rf'X;, , , ,,, 



7^ COS2(<}-f )+..., 



