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 » J'avais écrit ce qui précède lorsque M. Ilermite a eu l'obligeance de 

 me communiquer une Lettre qui lui a été adressée par M. Heine, à la 

 date du 2 juin dernier. M. Heine fait remarquer, ce dont je ne m'étais pas 

 aperçu, que les quantités Kf"", définies par l'équation (12), se ramènent 

 très-siinplement à des fonctions de Laplace ; voici comment il le prouve: 



en posant 



„J . „J 



;;. = COS--, V -= SUr-5 



9. 2 



on peut écrire 



('^) ^''-"'^ (.■.■!.,»r ^.r (F + '-''+ apcos^fcos/^r/f 



t 

 » Supposons /x ^> V, et posons 



X, 



u ou 



l'expression (i3) deviendra 



il .2. . .111)' t: J^^ \ ' « ./ .Y 



Or, les fonctions P,'"' de Laplace étant définies par l'équation 



■>}['"— '—1^ ^,n-,-2 



i[im — Il 

 m — / — 1 ) ' 



{"' — ' — '; 



X" 



} 



1.1^ [lin — I ) ( 2 /« — 3 J 

 on a 



-'- Ç (.r + ^ 'aF^ cos<b)"' coiiû^d'h = ,„, "^^"'' r, P'"" {x\ 



il en résulte donc 



(lA) K '='"> — (;/■'- y';"' n(a»0 (,„, , . 



^^^ ^'.' - ,.-[n{m)]-n{m + i)a{m-n^' ^^)- 



» Dans sa Lettre à M. Hermite, M. Heine a donné la formule (i4) pour 

 les deux valeurs o et i de l'indice /, ce qui tient à ce que, dans mes Com- 

 munications antérieures, je n'avais fait figurer que les quantités KJ,'™' et 

 K,'"' ; on voit, en résimié, que M. Heine a réussi à introduire les fonctions 

 sphériques dans les éléments analytiques que j'avais employés; de mon 

 côté, et sans cette introduction préalable, je suis arrivé aux résultats défi- 

 nitifs et très-simples contenus dans les équations (?.) et (4). » 



