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» J'appelle encore ApA lesous-déterminanttlu [n — ])"'™'^ordreparrapport 

 à l'élément <7j,s. Pour obtenir la valeur X/,, je multiplie les congriiences 

 du système (i) respectivement par A,^, AjA) • ■ ■ » Ap/(, . . . , A„a. J'additionne 

 maintenant ces nouvelles congruences et j'obtiens 



(2) Bx/i^^Y/i (tnod. »i), 

 où V/i est un déterminant de la forme 



Va= A,A«, + . . . + ApAMp-+- ... 4- A„;,?/„. 



» Il est évident que toutes les valeurs possibles qui peuvent satisfaire 

 au système (i) sont données par la formule (2). 



» 2. Nous allons chercher maintenant combien il y a de systèmes de va- 

 leurs données par la formule (2) satisfaisant simultanément au système (1). 

 Nous distinguons trois cas : 



» 1° Soit 5 le plus grand commun diviseur des nombres m et D, et sup- 

 posons que Ton trouve parmi les déterminants V,, . .., V„au moins un qui 

 n'est pas divisible par ô. Dans ce cas, le système (i) n'a aucune solution. 



» 2° Supposons les nombres m et D premiers entre eux. Dans ce cas 

 on trouve, au moyen de la formule (2), une valeur et une seule pour chaque 

 variable. Ces valeurs sont simultanées et forment un système satisfaisant au 

 système (i). 



» En effet, si l'on multiplie d'abord le système (i) par le déterminant D,, 

 et que l'on remplace les expressions Da*,, ..., Dx,; respectivement par 

 V,, . . . V„, on obtient 



(3) rtpiV, +...+ flp,,VA- + ...+ ap„V„ = Di/p {mod.m). 



» En substituant les valeurs de V,, .. ., V„, onverraquela congruence(3) 

 est une identité, et, par conséquent, dans ce cas, les valeurs données par la 

 formvde (2) satisfont simultanément au système (i). 



» 3. Enfin, nous examinerons le cas où Y,, . . . , V„ sont tous divisibles 

 par â. Nous obtenons dans ce cas, par la formule (2), 



oc/,^ u,, (mod. '" j» 

 et alors 



Xk=c</,-h if,j [mod.m). 



