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» La fonction fp(/) que j'introduis ainsi est un peu différente, par sa 

 définition analytique, de la fonction ^{:-) que M. Poincaré introduit dans 

 ses belles recherches sur le développement de la fonction perturbatrice. 



» Les valeurs singulières de la fonction ^{t) qu'il suffit de considérer 

 sont celles que l'on obtient en remplaçant, dans l'expression 



(i) t = ^''x"-^''e ' ^' "^(a^sin^ -cosî 



X par les racines des équations 



j (x — •^)(i.z' — i) c I4-TX (x — 'î)(t^" — : 



--P. 



j ^(i + T^) a i — zx ie(i+-J) 



( - ^(i-t-.*)— - P- 



» Pour distinguer, parmi ces valeurs singulières, celles qui sont ad- 

 missibles de celles qui ne le sont pas, je définis de proche en proche la 

 détermination considérée de la fonction <f(f) sur les droites qui joignent 

 l'origine à ces valeurs singulières. 



» Considérons sur la surface de Riemann à deux feuillets distincts, dé- 

 finie par la relation 



(xcos^ — sin - ) — piPV (aîsinï _ cos^ j y — ^^x\^= o, 



les points singuliers de la deuxième intégrale qui entre dans l'expression 

 de (f{t) et remplaçons le contour d'intégration initial par la courbe suivant 

 laquelle le cylindre de l'espace ayant pour base le cercle de rayon un 

 coupe le deuxième feuillet ; les déformations que l'on doit faire subir au 

 contour d'intégration sont celles que comportent la constitution de la sur- 

 face et la marche des points singuliers sur cette surface. 



» On est conduit à distinguer plusieurs cas, caractérisés par les positions 

 relatives des racines des équations (2). 



» Si l'on pose 



on reconnaît que les valeurs de z, qui correspondent aux racines des équa- 

 tions (2), sont données par l'intersection de la courbe 



a[.(.-— O + x^+i] 



