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 » La même méthode, appliquée au cas où l'orbite circulaire enveloppe 

 l'orbite elliptique, m'a permis de retrouver les résultats que M. Maurice 

 Hamy a précédemment communiqués à l'Académie ('). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les transformations biunif ormes des surfaces 

 algébriques. Note de M. Paul Paixlevé, présentée par M. Picard. 



« A l'inverse des courbes algébriques, les surfaces algébriques peuvent 

 admettre des transformations biuniformes en elles-mêmes, qui ne soient 

 pas birationnelles. Ce sont ces transformations que je me propose d'étudier 

 dans cette Note. Soient 



S(X,Y,Z) = o, *(a?,y,s) = o 



deux surfaces algébriques entre lesquelles existe une correspondance 

 biuniforme 



^'^ ( Z = R,(^-,y,:;). 



Je supposerai seulement que, pour toute valeur fixe donnée à une des 

 variables, les points essentiels des fonctions R(a;, j'), R, {x,y^ sont, dans 

 le plan de l'autre variable, des points isolés ou ayant des points limites, et 

 définis par certaines relations analytiques : c^(^x,y') = o, etc. 



» La première propriété que j'établis est la suivante : Toute transforma- 

 tion biuniforme ( i ) transforme une intégrale double algébrique de première 

 espèce en une intégrale double de même espèce. Les deux surfaces S et * ont 

 donc nécessairement le même genre p. Au contraire, comme nous Talions 

 voir, une transformation (i) ne conserve pas nécessairement les différentielles 

 totales de première espèce. 



» D'après cela, si la correspondance entre S et s est biuniforme sans 

 être birationnelle, la surface S (comme la surface 5) rentre (pour/?;>i) 

 dans la classe des surfaces coupées par leurs adjointes de degré (w — 4)5 

 suivant des courbes de genre i (m désignant le degré de la surface). De 



( ') Comptes rendus, t. GXVII, p. io5o. Voir aussi : Sur le développement de la 

 fonction perturbatrice dans le cas des inégalités d'ordre élevé {Journal de Lrou- 

 ville, t. X, 4° série). 



