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 plus, pour p> I, la correspondance (i) transforme un faisceau de courbes 

 algébriques de S en un faisceau algébrique de s. 



» Nous distinguerons donc deux classes de transformations biuniformes : 

 les frans/ormations semi-transcendantes qui laissent algébrique une courbe 

 algébrique dépendant d'un paramètre, et les transformations biuniformes 

 quelconques. Les premières sont les seules qui puissent se présenter pour 

 p>i. 



» I. Transformations semi-transcendantes. — Pour qu'une surface s ad- 

 mette un faisceau continu de transformations biuniformes en elle-même, il 

 faut et il suffit qu'elle corresponde birationnellement soit à un cylindre, soit 

 à une surface coupée par tout plan x = const. suivant des courbes de genre i , 

 pour lesquelles la différentielle de première espèce 



F[x, y, z) dy = _ l ou = - ^ ou 



est rationnelle en x, y, z. Une quelconque de ces transformations est ré- 

 ductible algébriquement à une des deux formes 



(a) \ = X, Y = :—-, — r -, — -- 



(1, II., 1,, [j., étant uniformes en x, E, si l désigne une certaine fonction 

 algébrique de x), 



(b) X = x, Y = pj[f/ + C(.r)]. y=p,(u), 



oùC(a^) désigne une fonction dont toutes les déterminations sont de la forme 



C,(x, l) 4- 2m M, (3) -+- anox, (JV 



et 2to,, 2C02 les périodes de p,. 



» Ces transformations conservent toutes les différentielles totales de 

 première espèce attachées à s, sauf dans le cas où J est indépendant de x. 

 Dans ce cas, en outre d'une transformation birationnelle continue, la surface 

 admet une infinité de transformations biuniformes qui conservent les diffé- 

 rentielles totales de première espèce, sauf une seule. 



» Des résidlats analogues s'appliquent à àen-iii surfaces 5 et S entre 

 lesquelles existe une correspondance semi-transcendante. La correspon- 

 dance se ramène encore algébriquement à une des deux formes (a) ou (b). 



» II. Transformations biuniformes quelconques. — De ces transformations. 



