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toute trajectoire du mobile doit nécessairement passer. Il suffit pour cela de 

 considérer le point de la trajectoire où la fonction des forces U atteint un 

 minimum. On constate aisément qu'en un tel point, l'inégalité 



(i) iA(U,AU)- AUA,U>o 



(où les symboles A et A, sont les paramètres différentiels de Beltrami, con- 

 formément à la notation employée dans les Leçons sur la théorie des sur/aces 

 de M. Darboux) doit être vérifiée; autrement dit, la ligne de niveau qui 

 passe en ce point a sa courbure géodésique dirigée dans le sens de la force; 

 résultat que l'on retrouve d'ailleurs immédiatement en partant des équa- 

 tions intrinsèques du mouvement. 



» La région R est changée en la région complémentaire R' lorsqu'on 

 passe'd'un mouvement au mouvement conjugué. En particulier, les géo- 

 désiques de la surface (qui, comme on le sait, sont des trajectoires limites 

 de l'un ou de l'autre mouvement) passent dans chacune des deux régions. 

 Comme la ligne de séparation de ces régions dépend de la fonction U, qui 

 n'intervient point dans la définition des géodésiques, on voit qu'o/i peut 

 trouver, d'une infinité de façons, une ligne que toute géodésique de la surface 

 doit nécessairement croiser. 



» II. Il peut arriver que l'on connaisse une limite supérieure de la con- 

 stante des forces vives. Dans ce cas, la région R peut être remplacée par 

 une autre rplus restreinte. 



» Au contraire, si l'on sait que la constante des forces vives dépasse un 

 nombre donné, on est assuré que la trajectoire passe dans une région /', 

 composée de R' et d'une bande de la région R, bande d'autant plus étroite 

 que la constante des forces vives est plus grande. 



» III. Un point oii la fonction des forces est minimum n appartient pas 

 à la région R. Il est donc démontré qu'an tel point est une position d'équi- 

 libre instable. 



» Cette proposition n'avait pas encore été démontrée rigoureusement, à 

 ma connaissance. 



» La remarque complémentaire du n° II permet d'étendre la dé- 

 monstration à une partie des cas où, en une position d'équilibre, U n'est ni 

 maximum ni minimum, mais non malheureusement à tous. 



» Les résultats s'étendent partiellement aux systèmes qui dépendent de 

 plus de deux paramètres, par exemple au mouvement d'un point libre 

 dans l'espace. Là encore, un maximum de U ne peut avoir lieu dans 

 une région où les surfaces de niveau tournent leur convexité dans le 



