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 termes constants de G et G, . Posons, «„ et à^ étant réels, ainsi que P et Q, 



Ç,{z) = a^ + ià^ +ff,; + fl,:» + ... + fl,„G'« + ...= P(r,fJ) -t- iQ(r, 0). 



)) On a manifestement (Cf. Hadamard, Comptes rendus , t. CXIV, p. io53) 



7:f"a,„ = f P(6, r)e~'"''> t/'i, i-a^= f P c?0, 



7:/-"'|a,„| + 2-a,< f^dP] + P) û^9 < 4" A(/-). 

 TT/-"' !«,„!- 2T:ao< r"(|Pl - P)r/0 < 4:tB(/-). 



» Supposons que le module de z soit inférieur ou égal à un nombre 

 p << r; nous aurons 



|G(.)1<1«J + Kl + (4A(.) + 2la„|)(;, + ^ +...). 

 et, par suite, 



(3) M(p)<kP^. 



» La même inégalité a lieu en remplaçant A par B ou en introduisant A,, 

 B,, M,. Pour a„, p„, \j.,„ il faut remarquer que dans r„ le terme constant est, 

 lorsque n est grand, de l'ordre de grandeur de log] n \ (nous pouvons sup- 

 poser que le coefficient de j est compris entre — tc et +7t); on aura donc (') 



(4) K-«(p)<K.p r^T 



M Cela posé, nous pouvons donner à z une valeur z^ ayant un module 

 donné r et telle que la partie réelle de G(:;) soit égale à — B(/); on a 

 alors 



|e<;,(-v_i|^e-B('-), 



et, par suite, n étant un entier déterminé, 



|G.(^o)-2/»-^i<Ke-""-'. 



(') Dans celle inégalité et les suivantes, lorsque n est nul, log[Hj doit être rem- 

 placé par zéro. 



