( i'i3) 



» Premier type. — Courbe quelconque, les droites de contacl com- 

 prennent le complexe des parallèles au plan de la courbe. 



» Deuxième type. — Les cercles, qui ont, outre le groupe précédent, le 

 groupe des droites qui coupent l'axe du cercle. 



» Les courbes des trois premières catégories n'ont pas, je crois, été 

 signalées. Je signalerai, en terminant, le théorème suivant : 



» Dans une courbe gauche il n'y a jamais, à distance finie, de droite de 

 contact parallèle à la normale principale. » 



ANALYSE. — L'aire des paraboles d'ordre supérieur. Note 

 de M. P. -H. ScHouTE, présentée par M. Hermite. 



» 1. L'aire de la figure plane limitée par la parabole 



(i) y = a^x" -f- «, a:-"-' + . . . -h rt„, 



l'axe des abscisses et les deux ordonnées qui correspondent à a; = o et 

 X = h est 



A == h {^^ h" + ^ h"-' + . . . + «„ \ 

 \// + 1 II "■ ) 



et dépend donc de h et des n -\- \ paramètres «/; (^- = o, i , ... «). 

 M Cela prouve qu'on peut poser 



A = /i (/'o r,, + ^', y, + . . . + b„y,^), 



où r„, y, y„ représentent les ordonnées qui correspondent à a: = — 



(X- = o, I n). 



» Cette formule s'appUque au cas général (i) aussitôt qu'elle le fait au 

 cas spécial j= (a; -h/?)". Car on peut déterminer a et /^ paramètres />, 

 (i = 1 , 2, ...«), de manière que l'équation 



i=n 



a„x" + a,x"-^ + . . . + a^ = 5,2 (,r -+-p,)" 



1=1 



devienne une identité. Donc les paramètres b,, n'ont à satisfaire qu'à la re- 

 lation 



correspondant à ce cas spécial. En égalant les coefficients des mêmes puis- 



