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sances de h des deux membres, on trouve n +i équations linéaires aux 

 ^ +1 inconnues è^; cela donne pour 



/i = 3, A = { h{ jo -<- 3j, 4- 3j„ + j.,), 



« = 4, A = ^A(7ro + 327, -4- 127^+ 327, h- 7 y,), 



» Ces formules obtenues, il y a deux cents ans, par Côtes comme des 

 approximations de l'aire d'une courbe quelconque, sont généralement 

 connues (J. Bertrand, Calcul inlégral, p. 333, 1870; G. S. Carr, Synopsis 

 of elementary residts in pure Mathematics, p. 438, article 2996. 



» Donc, il est étonnant que, jusqu'à présent, on n'ait pas reconnu que la 

 formule obtenue pour n ^ im est encore de rigueur pour n = 2/n + r, quoi- 

 qu'on n'ait pas tardé de vérifier le cas spécial m = i Ae CQ théorème. Le 

 but principal de la présente Note est de faire connaître une démonstration 

 simple du cas général. 



» 2. La suite des coefficients b^ des y,, ne change pas quand on renverse 

 leur ordre. Cela est d'accord; car l'aire A ne change pas par une rever- 

 sion (demi-révolution) de la figure autour de l'ordonnée correspondant à 

 X ^^T,h. On a donc, en général, pour 



(3) A = A[ft„(jo + J2m) +''>,(j'. +j2™-i )+•••+ ^.«J™]. 



(4) A'= hlb\Xy, + y',„,,,) + />,(y, + y,J +.. .+ h'„XYm + ï'm.^ )\- 

 » En remplaçant x par x' — T,h, la relation (2) change en 





qui ne contient que les puissances impaires de h et forme la source des 

 équations linéaires qui déterminent les paramètres b/, et è^ des expres- 

 sions (3) et (4). 



» 3. Remaïquons d'abord que le nombre des paramètres indépen- 

 dants b'^ en A' est égal à celui des paramètres indépendants b^ en A. On peut 



