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gine. De plus, je supposerai (et c'est là la restriction à laquelle je faisais 

 allusion) que T est de genre fini 1. Cherchons si l'on peut avoir 



iV F(a;)=/(.r) + 6, 



ô étant une constante ou, plus généralement, une fonction régulière ou 

 n'ayant à l'origine qu'une singularité polaire, et /(r) une fonction ne 

 s'annulant point aux environs de l'origine, de sorte qu'on a 



(3) /(^) = a-«ç(a.)/'^*, 



où n est un entier positif, nul ou négatif, o(ar) une fonction régulière 

 autour de l'origine (et non nulle en ce point), et G une nouvelle fonction 

 entière. 



» Or la comparaison des relations (i), (2) et (3), jointe à ce que nous 

 savons sur l'ordre de grandeur des fonctions de genre 1, montre que e*^ " 

 augmente indéfiniment moins vite que e''''''^', si petit que soit î. 



» Le raisonnement qui figure dans mon Mémoire sur les fonctions en- 

 tières ne reposant que sur cette seule hypothèse, nous pouvons conclure 

 immédiatement que G est un polynôme. Dès lors, il est aisé de voir que 

 les égalités (2) et (3) ne peuvent avoir lieu que d'une seule façon. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les systèmes en involution d'équations 

 du second ordre. Note de M. E. Goursat, présentée par M. Appell. 



« 1. On dit que deux équations du second ordre, à deux variables in- 

 dépendantes, x ely, et à une seule fonction inconnue =, forment un sys- 

 tème en involution, si les quatre équations que l'on obtient, en prenant les 

 dérivées par rapport à j? et par rapport à j, se réduisent à trois équations 

 distinctes. Un système en involution admet une infinité d'intégrales, dé- 

 pendant d'une fonction arbitraire. (Voir, par exemple, un Mémoire de 

 M. Sophus Lie dans le Bulletin de l' Académie de Leipzig, 1898 ; un article 

 de M. Weber dans les Mathematische Annalen, t. XLVH, et la Thèse ré- 

 cente de M. Beudon.) 



» En me plaçant à un point de vue un peu différent, j'ai obtenu certains 

 résultats que je me propose de résumer dans cette Note. 



» 2. Un système en involution, linéaire par rapport aux dérivées du 



