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 second ordre, est de la forme 



r+ X^ -t- y. = o, 



(0 



It 



1, ij., V étant des fonctions de a?, y, :■,/>, q, satisfaisant à deux conditions fa- 

 ciles à écrire. Soit 



(2) F(ar, j, =. a, b, c) = o 



une intégrale de ce système dépendant de trois paramètres a, b, c; l'inté- 

 grale générale est représentée par le système des deux équations 



( F[,r, V, z,f{7.). ?(='-), 'h{v.)] =0, 



\ el/(a)'' ^ c/'f (a) ' £''{'(«) ^ ^ ^ 



/(a), o(a), 'i(«) étant des fonctions d'un paramètre variable a qui doivent 

 satisfaire à une relation déterminée de la forme 



(4) ^[/(a), (p(a), i/{y.),f'{^.), ?'(--)- '^'(^-)] =<V 



homogène en /'(«,), 9'(='-), i («)• On sait, depuis Monge, que l'on peut 

 trouver les expressions les plus générales des fonctions/, 9, •]/. en inté- 

 grant une équation aux dérivées partielles du premier ordre, de sorte que 

 les formules (3) ne renfermeront plus, quand on aura remplacé y, çp, J/ 

 par leurs expressions, qu'une fonction arbitraire et ses dérivées en nombre 

 fini. 



» Les systèmes linéaires en involution présentent un intérêt particulier 

 à cause de la propriété suivante : si toutes les intégrales d'un système en 

 involution vérifient une équation linéaire en r, s, t, rt — *', ce système est 

 lui-même linéaire. 



M 3. Un système en involution non linéaire peut toujours être ramené à 

 la forme suivante : 



i r=/(x, y,z,p,q,s), 



\ l = cp(a%j, z,p,q,s). 



(5) 



et les fonctions /et <p doivent satisfaire aux deux conditions 



^ ' -^ dy i)z ' dp Oq ^ t)s \dx d:' Op'' ùq j 



