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» Regardons pour un moment (^x,j,z,p,q) comme des paramètres, 

 r, s, t comme les coordonnées d'un point; les équations (5) représentent 

 une courbe gauche (r) et la relation (6) exprime que les tangentes à celte 

 courbe gauche sont parallèles aux génératrices du cône représenté par 

 l'équation rt — 5- = o. Soit 



(8) r-+- 25/« + ///i- -+- 2'|(a, j, ;, /^ (/, ot) = o 



l'équation du plan osculateur à cette courbe, m étant un nouveau para- 

 mètre qui fixe la position d'un point sur (T); l'enveloppe de ce plan oscu- 

 lateur est une surface développable (i) qui admet la courbe (r) pour arête 

 de rebroussement. Si, dans l'équation de cette surface 



(9) ¥{x, y,z, p,(i,r,s,t) = o, 



on atti-ibue de nouveau aux leltres x, y, :•, p, q, r, s, l le sens habituel, elle 

 constitue une équation du second ordre (E), qui admet pour intégrales 

 singulières les intégrales du système proposé (5). 



» Pour que le système (5) soiteninvolution, la fonction <]> (a;, j, z,p,q,m) 

 doit satisfaire à une condition que je ne puis reproduire ici. Cette condi- 

 tion exprime que l'équation (9) appartient à une classe d'équations du 

 second ordre dont je me suis déjà occupé à diverses reprises, en particu- 

 lier dans un Mémoire des Acta mathematica (t. XIX). J'ai montré que l'in- 

 tégration d'une équation de cette espèce se ramène à l'intégration d'un 

 système complet ; l'intégrale générale est représentée par un système de 

 formules où figurent explicitement deux fonctions arbitraires y^(a), 9(0) 

 d'un paramètre a, et leurs dérivées 



( ^[x,y,z,a,J\a),o(a),':^'{a)\ = o, 



Quant à l'intégrale générale du système en involution, elle est aussi 

 représentée par les formules (10), mais les fonctions/(a) et (p(a) doivent 

 satisfaire à une équation de condition 



^\a,f{a)J\a), cp(a), cp'(«), (p"(a)] = o, 



qui exprime que la surface variable C' = o a un contact du second ordre 

 avec son enveloppe tout le long de la caractéristique. » 



