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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une équation différentielle du premier ordre. 

 Note de M. Michel Petrovitch, présentée par M. Picard. 



« La solution de tout problème de Mécanique dans le plan, pour lequel 

 il existe une fonction des forces, les lignes équipotentielles étant des droites 

 d'ailleurs quelconques, se ramène, par la méthode de Jacobi, à l'intégra- 

 tion de l'équation différentielle du premier ordre et du second degré 



» La même équation se rencontre dans plusieurs problèmes importants 

 de Mécanique et de Géométrie supérieure. Ainsi, la recherche des géodé- 

 siques des surfaces spirales, et le problème d'applicabilité de ces surfaces, 

 l'une sur l'autre, se ramène à l'intégration de l'équation (i). Si dans (i) 

 on change x en w, et y en p, on a l'équation à laquelle on est conduit lors- 

 qu'on cherche, en coordonnées polaires, les isométriques d'une courbe 

 donnée par rapport à un système de droites concourantes, etc. 



» Remarquons que l'équation plus générale 



se ramène à la forme (i), car si l'on pose 



u = e ^•' ^ , y = uY, 

 l'équation (2) se change en 



et en posant 



irV' ', ' 



l'équation prend la forme (i). 



» C'est donc à cause de l'importance de l'équation (i) que la remarque 

 suivante pourra présenter quelque intérêt. Je me propose de montrer com- 

 ment cette équation se ramène elle-même à une autre qui a déjà été l'objet 

 de travaux importants, dont les résultats deviendront ainsi applicables 

 aux questions citées plus haut. 



