» Posons ensuite 



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on aura 



(8) ^=,^^_j.2Y'; 



enfin, en posant 

 d'où, par exemple, 



l'équation se ramène à la forme 



(9) §=F(t) + Y\ 



» L'équation (9) a été l'objet des travaux importants de M. Roger Liou- 

 ville ( ' ) qui l'a considéré sous plusieurs points de vue et a donné plusieurs 

 cas d'intégration, et de M. Appell (-) qui en a fait une étude approfondie. 

 Ces résultats deviennent donc applicables aux questions de Mécanique et 

 de Géométrie citées plus haut; on peut, par exemple, établir une théorie 

 des invariants de l'équation (î), etc. 



M Réciproquement, comme on sait déterminer complètement les géodé- 

 siques d'un nombre illimité de surfaces spirales, on aura une infinité de 

 formes de la fonction F(^) pour lesquelles on saura intégrer l'équation (9). 

 Car, comme il est connu dans la théorie des surfaces (' ), toutes les fois 

 que l'on saura déterminer par une méthode quelconque les géodésiques 

 d'une surface spirale, on pourra obtenir par une quadrature l'intégrale 

 générale de l'équation correspondante (i), et, par suite, en suivant la 

 marche que nous avons exposée, on pourra complètement intégrer l'équa- 

 tion correspondante (9). » 



(') Comptes rendus, 6 septembre 18S6, 12 septembre 1887. 



(^) Journal de Liouiille, 4' série, V; 1889. 



('■') Dakboux, Théorie des sur/aces, III-^ Partie, Livre VI. 



