( ,320 ) 



traitée antérieurement et qui renferme, comme cas particulier, le problème 

 de M. Korkine. 



» Cette question s'énonce ainsi : Étant donnée, une équation différentielle 



oùV et Çl sont deux polynômes en y (r/e degré p et q^ qui dépendent de x 

 d'une façon quelconque, reconnaître si l' intégrale de cette équation peut 

 s'écrire 



(2) h{x) \y - g, (x)]\ [y - g,(x)]K ..[y- o-„(x-)]^« = C 



h, gt, .. ., g,i désignant des fonctions inconnues de x,l, a„ des constantes 



numériques inconnues, C /a constante arbitraire (n est un entier donné). On 

 retombe sur le problème de M. Korkine quand on suppose que h(x) est 

 égal à I, et que \,, .... 1„ sont des quantités données toutes distinctes : 

 cette dernière restriction est la plus importante. 



)) Quand l'intégrale est de la forme (2), il existe un multiplicateur M(y, x) 

 du binôme Qdj — P dx, qui est un polynôme en y de degré égal à n — (q -hi) 

 ou à n — (q -\- 2.) suivant que la quantité 1\ est différente de zéro ou égale à 

 zéro. C'est sur cette remarque que repose la méthode que j'ai indiquée 

 (voir les Comptes rendus, janvier-février 1892). 



)) Les résultats auxquels conduit cette méthode s'énoncent ainsi : 



)) S'il n'existe qu'un multiplicateur distinct (') de la forme M(y,x), les 

 fonctions g,, ....g„ s'obtiennent algébriquement en fonction des coeffi- 

 cients de P,Q; /i[x) s'obtient par une quadrature logarithmique. 



» S'il existe au moins deux multiplicateurs M (y, x) distincts, l'intégrale 

 générale y(x) de (i) ne prend qu'un nombre limite de valeurs autour des 

 points critiques mobiles. L'intégrale y(x) vérifie une relation de la forme 



/ON H(r, ^) du 



11 et K étant deux polynômes en y de degré v, dont les coefficients, ainsi 

 que a, [i, y, se calculent rationnellement en fonction des coefficients de 

 l'équation (i). 



(') Je ne regarde pas comme distincts deux multiplicateurs qiii ne diOèrent que 

 par un facteur constant. 



