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 » L'équation (3) peut encore s'écrire 

 (,\ H(y,x) _ C/,+/ 



/, ,/, ç,, cp étant certaines fonctions de a:, C la constante. 



» Appelons valeurs remarquables de C, les valeurs €„ (s'il en existe) 

 toiles que, pour x quelconque, l'équation (i) en y ait des racines mul- 

 tiples (qui peuvent être infinies). S'il existe une valeur remarquable, on 

 peut mettre l'intégrale sous la forme (3) oîi a. est nul; s'il existe deux va- 

 leurs remarquables, on peut supposer, dans (3), oc et 7 nuls ; l'intégrale 

 de (1) est alors donnée par une quadrature qui définit A(a;); quand h est 

 égal à I, l'intégrale s'obtient algébriquement. Sî tous les exposants \ sont 

 distincts, ilexiste au moins deux valeurs remarquables C. D"où ce théorème : 



» Étant donnée une équation (i), on peut toujours leconnattre, à l'aide 

 d'un nombre fini d'opérations rationnelles, si son intégrale est de la forme (2) 

 (^l'entier n étant donné). Quand il en est ainsi, deux cas sont possibles : ou bien 

 g,, ..., gn dépendent algébriquement des coefficients de (i) et h (a?) est donné 

 par une quadrature los,arithmique; ou bien l'équation (i) se ramène ration- 

 nellement à une équation de Riccati [d'après les formules (3)J. En particu- 

 lier, on sait toujours reconnaître si l'intégrale se laisse mettre sous la forme 

 de M. Korkine (h^^i ,l,^l2 ^ ■ • -^ \,)' et, quand il en est ainsi, cette 

 intégrale s'obtient algébriquement. 



» Posons-nous maintenant le problème inverse : Former toutes les équa- 

 tions différentielles (i) dont les coefficients soient, par exemple, rationnels 

 en X (*) et dont l'intégrale se laisse mettre sous la forme (2). 



» La réponse s'énonce ainsi. Toutes les équations (i) cherchées s'ob- 

 tiennent /^arw/z des trois procédés suivants : 



» t° En dérivant l'égalité : /ii^x)G,(j, x)''' . ..G,„(y, a;/» = C, où les 

 G sont des polynômes en x, y et où h = g-f^W''-^, k étant rationnel en x. 



» 2° En remplaçant dans l'équation linéaire 



du „ 



u par ■- ' ' , H et R étant des polynômes en j dont les coefficients, ainsi 

 que p et y, sont rationnels en x. 



(') Au lieu de regarder comme données la classe des fonctions rationnelles de x, 

 on peut traiter le même problème en regardant comme données n'importe quelle classe 

 de fonctions de a:. 



C. R., 1896, I" Semestre. (T. CXMI, N» 23.) I?^ 



