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» On sait que la normale en m, à [m,] est la perpendiculaire abaissée 

 de m, sur la normale en m à [m]. 



» On peut remarquer que le point symétrique de m., par rapport à o 

 est un point de [m,] et que cette surface est aussi l'apsidale, par rapport 

 à o, de la surface symétrique de [m\ par rapport à ce point. Ce n'est 

 donc que lorsque le pôle o est le centre d'une surface qu'on n'obtient, par 

 la construction précédente, que l'apsidale de cette surface. 



» Supposons que la surface [m] soit simplement un plan (P). Il est 

 facile de voir que son apsidale est un cylindre de révolution (CjK)dont 

 l'axe est la perpendiculaire abaissée de o sur (P). 



» Si l'on cherche maintenant la surface apsidale de ce cylindre, par 

 rapport au même pôle o, on trouve (P), le plan symétrique de (P) par 

 rapport à o, et enfin la sphère de centre o qui est inscrite au cylindre (Cy). 



n Cet exemple montre que si {Cy) est l'apsidale de (P), ce plan, seul, 

 n'est pas l'apsidale de (Cy). 



» C'est parce que le point m peut être déduit de m, par la construction 

 inverse de celle qui a donné ce point que plusieurs auteurs ont cru pou- 

 voir dire : Si une surface A est l'apsidale de B, réciproquement B est l'ap- 

 sidale de A. En raisonnant ainsi, ils oubliaient qu'il y a des points auxquels 

 correspondent des circonférences de cercles, et que, inversement, les 

 points de cette courbe ne donnent pas seulement l'unique point d'où ils 

 provenaient : 



» Les points auxquels correspondent des circonférences de cercles sont les 

 pieds des normales abaissées du pôle o sur la surface dont on cherche l'apsidale. 



» Dans le cas d'un cylindre de révolution, les pieds des normales abais- 

 sées du pôle o sur cette surface forment un cercle, section droite de ce cy- 

 lindre, et ce cercle a pour apsidale une sphère et non pas une courbe. 



Ainsi, à un pied de normale correspond un cercle et à un pareil cercle 

 correspond une sphère; on voit donc que : 



» Si A est l'apsidale de B, cette dernière sur/ace n'est pas l'apsidale com- 

 plète de A, par rapport au même pôle. 



» Ou encore : 



» Deux sur/aces ne peuvent être apsidales l'une de l'autre. 



» Prenons maintenant le théorème suivant bien connu : 



M Une surface (S) et son apsidale (S, ), par rapport à un pôle o, ont pour 

 polaires réciproques, par rapport à une sphère de centre o, une surface (Z) et 

 son apsidale (S, ), par rapport au même pôle. 



» La démonstration géométrique de ce théorème est très simple; mais, 



