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comme on l'établit en partant d'un point arbitraire de (S) auquel corres- 

 pondent deux points de (S, ), il y a lieu d'examiner ce qui se présente pour 

 le pied a d'une normale abaissée de o sur (S). 



» Au point a correspond sur (S, ) un cercle («i ) dont le rayon est égal 

 à oa. Lorsque l'on prend la polaire réciproque de ( S ), on trouve (2) et sur 

 celte surface le pôle a du plan tangent en a à (S). La distance o« est égale à 



— 2 



en désignant par r le rayon de la sphère par rapport à laquelle on 

 prend les polaires réciproques. 



— 2 



» Ce point a a pour apsidale un cercle dont le rayon est égal à — ou 



r 



Ce cercle n'est autre que la polaire réciproque du cylindre de révolu- 

 tion circonscrit à (S,) le long du cercle (a,) et il est bien sur (2,). 



» Ainsi, un point tel que a ne modifie pas le théorème dont nous nous 

 occupons. On peut remarquer que cela tient à ce que : une droite oa nor- 

 male à une surface (S) est aussi normale à la polaire réciproque de cette sur- 

 face, par rapport à une sphère de centre o (' ) . 



» On peut, comme nous venons de le faire, examiner ces théorèmes 

 connus : 



)) Une surface et son apsidale, par rapport à un pôle, ont pour podaires, 

 par rapport à ce point, une surface et son apsidale. 



)) Une surface et son apsidale, par rapport à un pôle, ont pour transfor- 

 mées par inversion, en prenant ce point comme pôle d' inversion, une surface et 

 son apsidale. 



■n Ces théorèmes, comme celui relatif aux polaires réciproques, ne sont 

 pas modifiés par les cercles qui proviennent des pieds des normales abais- 

 sées du pôle o sur une surface (S), parce que ces droites sont aussi nor- 

 males à la podaire ou à la transformée par inversion de (S), par rapport 

 à o. » 



(' ) Je me suis servi de cette remarque, dans le cas d'une conique, pour transformer 

 le théorème de Joachimstahl, relatif aux normales à celte courbe {Messenger oj 

 Mathematics, 1890). 



