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GÉOMÉTRIE. — Sur le théorème énoncé par M. P. -H. Schoute dans les 

 « Comptes rendus » du 1 8 mai 1 896 (p. 1 1 1 3) . Note de M. D.-J. Kouteweg. 



« On peut simplifier encore la démonstration du théorème remarquable 

 qui exprime que la formule 



de l'aire d'une parabole d'ordre supérieur, obtenue pour n = im, est 

 encore de rigueur pour n = -xm + i , et la rendre moins abstraite. 



» A cet effet, après avoir exécuté la reversion de la parabole d'ordre 

 2»z4-i, autour de l'ordonnée ji/,, construisons partout la moyenne 

 y' z= Uy^ -+- Yh-x) des ordonnées de la courbe primitive et de la reversée. 



» La nouvelle courbe, obtenue ainsi, est de l'ordre zm, parce que le 

 terme, contenant x-"'^' , disparaît de l'expression ^ a» [x-'"*' -h (h — a?)"'"^']. 

 On peut donc appliquer à cette courbe la formule 



A' =h[b, (7; +y,,„) + . . . + Ky„, ] ; 



mais il est clair que son aire est égale à celle de la courbe primitive et 

 qu'en même temps on peut remplacer y'^, -h vô^^p par jp + v.m-p parce que 



r'p^y'.m-p^ -Àyp+ y^'u-p)- » 



GÉOMÉTRIE. — Sur la Note de M. P. -H. Schoute, intitulée : 

 « L'aire des paraboles d'ordre supérieur ». Note de M. G. 3Iannoury. 



« La réduction du cas d'une parabole de degré 2.m -h i à celui d'une 

 parabole de degré 2m peut se faire aussi de la manière suivante : 

 » Considérons l'aire limitée par la courbe 



+ <7,a;-"' + ...4-a_,„,+,, 



l'axe des abscisses et les ordonnées qui correspondent à x 

 x= — h; 



» Retranchons de (i) l'équation 



y 



' = ci^x x'-- 



■V 



\h"n-\^-~m] 



A et à 



et nous obtenons une parabole Y = y y' de degré 2m, qui coupe la 



