( i452 ) 

 on a 



a ^ ss— I (modp), 



. /' — I . • . , 



ou est toujours un entier puisque p est un nombre premier. 



» En effet, en élevant au carré les deux membres de cette dernière 

 congruence, on reproduit la proposée. Il est vrai qu'on la reproduirait aussi 



en écrivant « '^ esi (modp); mais cette deuxième solution exprimerait 

 que a appartient, au plus, à l'exposant^ -, ce qui est contraire à l'hypo- 

 thèse. Cela posé : 



» Théorème I. — Le produit ab de deux racines primitives a, b d'un 



nombre premier p appartient à l' exposant , ou à l'un des diviseurs de 



; il n'est donc jamais racine primitive ds p. 



» En effet, par hypothèse et sans réduction possible de l'exposant, on a, 

 d'après le lemnie, 



P-' /'-' 



a '' ^—i et b'- ^—1 (modp); 



d'où, par la multiplication de ces deux congruences, 



P-' 

 (ab) - E^i (modp). 



Le produit ab appartient donc, au plus, à l'exposant - — ^; il peut, d'ailleurs, 



comme l'on sait ('), appartenir à l'un des diviseurs de^ ; car si ^-^— ^ 



est un tel diviseur, l'élévation à la puissance i"""^ de la congruence 



21 



(ab) " = t 

 P_-i 



reproduit («ft) " (modp). 



» Il s'ensuit que ab n'appartient jamais à l'un des diviseurs de ^ — i, si 



celui-ci ne divise pas en même temps ~ — 



)) Exemple : p = 3j, /? — i = 3o, dont les diviseurs sont 1,2, 3, 5, 6, 

 10, i5 et 3o, et les racines primitives sont 3, 1 1, 12, i3, 17, 21, 22, 24. 



( ' ) Voir Disquisitiones, n° 49. 



