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» Les produits binaires de ces racines appartiennent à l'un ou à l'autre 

 des exposants i, 3, 5, i5, mais aucun aux exposants 6, lo, diviseurs de 3o, 

 qui ne divisent pas i5. Quant à l'exposant i, il n'y a jamais que l'exposant 

 /) — I (ici 3o) qui lui appartienne, et il n'y a point à s'en occuper dans les 

 questions dont il s'agit ici. 



» Corollaire. — Le carré d'une racine primitive quelconque étant 

 aussi un produit binaire, il résulte du théorème t que le. carré cV une racine 

 primitive, ou son résidu minimum par rapport à p, n'est jamais une racine 

 primitive, ce qu'on savait déjà. 



» Théorème IL — Le produit d'un nombre pair de racines primitives n'est 



jamais une racine primitive de p; il appartient à l'exposant > ou à l'un 



de ses diviseurs. 

 » En effet, on a 



y-i /'-' p-i P-' 



fl-^ — I, />-^— r, c*^ — T. d ^ ^ — i, ... (mod p) ; 



d'où, par la multiplication, (ahcd .) ' ^i (mod p), puisque le nombre 

 des facteurs — i est pair, par hypothèse. Donc, etc. Lorsque le nombre 

 des facteurs est égal au nombre total (toujours pair, dès que p> 2) des 

 racines primitives de p, le produit appartient à l'exposant i, donc est 

 ^1 (mod/>), résultat connu (^Dist/uisitiones, n° 80). 



» Théorème III. — Le produit abc de trois racines primitives a, b, c, est lui- 

 même une racine primitive, ou bien il appartient à l'un de ceux des diviseurs 



de p — I (/ui ne divisent pas 



)) En effet, on a, par hypothèse, sans réduction possible de l'exposant, 



/»-■ p-' P-' 



a ^ ^ — (, b-^ — i, r-^E — I, ... (mod/j); 



P-' 

 d'où, par la multiplication, ... (aèc) ^ — i et, en élevant celte con- 



gruence au carré, (abcy~* ^i (mod/>). 



» Donc abc appartient : soit à l'exposant/j — i , et, dans ce cas, il est ra- 

 cine primitive ; soit à l'un des fHviseurs deyo — r, mais à condition que ce 



diviseur ne divise pas en même temps ^ En effet, s'il divisait-^- , 



on aurait, par l'élévation à la puissance convenable, (abc) ^ ^ i (mod p), 



c. R., 1896. 1- Semestre. (T. CWII, N» 25.) 1^9 



