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 tandis qu'on a, par hypothèse, comme on vient de le voir, 



(abc) ^ B^—t(modp); 



il y aurait donc contradiction. 



» Exemple : p -- 19. — Sur les vingt produits ternaires des six racines 

 primitives de 19, dix-huit sont des racines primitives, et deux, savoir 

 2.8.14 et io.i3.i5 appartiennent à l'exposant 6, duquel les produits bi- 

 naires sont exclus, et qui divise /j —1=18, mais ne divise pas — — = 9. 



)) Soit encore/? = 3i. Sur les cinquante-six produits ternaires des huit 

 racines primitives de 3i, trente-huit appartiennent à l'exposant 3o, donc 

 sont racines primitives; dix à l'exposant 10, et huit à l'exposant 6, qui, 

 l'un et l'autre, divisent 3o sans diviser i5. 



)) Corollaire. — Le cube d'une racine primitive étant aussi un produit 

 ternaire, il résulte du théorème III que le cube d'une racine primitive (ou 

 son résidu) n'est jamais une racine primitive si p — 1 est divisible par 3, mais 

 l'est toujours si 3 ne divise pas p — i . 



» Cette conséquence étant connue, je supprime la démonstration; mais 

 je vais prouver que, réciproquement, 



» Si a"^ est une racine primitive de p, a en est une aussi. 



M En effet, par hypothèse et sans réduction possible de l'exposant, on a 

 (a')''"' ;^; i (mod/j). Cette congruence étant aussi obtenue en élevant au 

 cube la congruence a''~'^i(mod/;), on conclut immédiatement de celle-ci 

 que a appartient soit à l'exposant yo — i, soit à l'un des diviseurs de p — ï. 



Dans ce dernier cas, soit^^ — -- lediviseur auquel rt appartiendrait; on aurait 



a ' ^ïi(mod/j), et, en élevant au cube, (a') ' ^;i(modyD). Donc a^ 

 appartiendrait, au plus, à l'exposant '—. — -, ce qui ne se peut, puisqu'il ap- 

 partient par hypothèse, à l'exposant/? — i. 



» Théorème IV. — Le produit d'un nombre impair de racines primitives 

 est lui-même une racine primitive, ou bien il appartient à l'un de ceux des 



diviseurs de p — 1 qui ne divisent pas '— 



» La démonstration étant, au tond, la même que celle du théorème III, 

 je ne la reproduirai pas, et je me bornerai à quelques exemples. 



» Exemples .' /? = 29. H y a douze racines primitives; les produits 5"'''**, 

 ^npies^ ,^upies^ , , upies gout, BU très grande majorité, des racines primitives; 



