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c'est-à-dire le lieu des centres de courbure principaux de la surface; on est 

 donc conduit à déterminer les lignes de courbure de la surface d'onde. Ce 

 problème, complexe en général, est ici particulièrement simple. 



» En effet, tous les rayons réfléchis sur l'arc MM', en un mênoe point M, forment 

 un cône ayant ce point pour sommet, pour axe de révolution, la tangente MO; en ce 

 point; il a donc pour base le cercle APBPj, normal à la tangente MO;, passant par le 

 point lumineux P et son symétrique P,. Ce cercle est une ligne de courbure de la 

 surface d'onde puisque le long de ce cercle les normales se rencontrent au point M. 



» De même le point infiniment voisin M' est le sommet d'un cône de révolution 

 autour de la tangente M'O', dont le cercle de base A'PB'P, est aussi une ligne de 

 courbure. La surface d'onde, lieu de ces cercles, est évidemment l'enveloppe d'une 

 sphère qui passe par les points PPi, et dont le centre se meut sur l'arc MM'. Les 

 cercles de contact forment le premier système de lignes de courbure : le lieu des 

 centres de courbure correspondants (lieu du sommet des cônes), coïncidant ici avec 

 l'arc MM', ne fournit pas la caustique demandée : c'est donc le deuxième sj stème qui 

 doit la donner. 



» On aura un élément de ligne de courbure du deuxième système en un point S de 

 la surface, en menant un arc SS' coupant à angle droit les deux cercles infiniment 

 voisins SAPBPi, S'A'PB'Pi. La normale en S (rayon SM) et la normale en S' (rayon 

 S' M') se rencontrent nécessairement en un point G appartenant à la caustique 

 cherchée. 



» Mais ce point G fait partie de la ligne d'intersection des deux cônes de révolution 

 infiniment voisins MSAPBPi, M'S' A'PB'P, : la caustique demandée est donc la ligne 

 de contact avec son enveloppe du cône passant par PPj, dont le sommet se meut sur 

 MM' et qui est de révolution autour de la tangente au sommet. On peut déterminer 

 directement cette ligne de contact par un calcul un peu long, mais facile; c'est même 

 ainsi que j'ai obtenu pour la première fols ces résultats. 



» Mais on voit immédiatement que cette ligne de contact est une section plane du 

 cône, si l'on a égard au théorème suivant : 



» Le lieu des sommets de tous les cônes de réi-olution ayant pour base une conique 

 donnée est la conique focale conjuguée : la tangente en chaque point de cette der- 

 nière est l'axe de réi'olution du cône correspondant. 



» D'où il résulte, par identification, que la ligne G est une section plane du cône 

 SAPBP, qui passe par PP, et par les foyers NN, d'une conique dont MM' est un élé- 

 ment, MC la normale en M et G le centre de courbure. La détermination du point G", 

 qui définit l'orientation de la section plane du cône, reproduit, en ordre inverse, la 

 construction du centre de courbure G en un point M d'une conique dont on connaît 

 les foyers NN,. 



» On retrouve ainsi, par une vole différente, tous les résultats précédents. 



» La surface anticaustique est une portion de cyclide de Dupin. — Il ré- 

 sulte de ces considérations que la surface normale aux rayons réfléchis sur 

 l'élément MM' et les comprenant tous est le double onglet PASP, S'A'P, 



