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 où p représente successivement tous les nombres premiers. Stieltjes avait 

 démontré que tous les zéros imaginaires de Z{s) sont (conformément aux 

 prévisions de Riemann) de la forme r^ + ti, l étant réel; mais sa démon- 

 stration n'a jamais été publiée. Je me propose simplement de faire voir que 

 Ç(^) ne saurait avoir de zéro dont la partie réelle soit égale à i . 



» Pour cela, remarquons d'abord que ^(^) admet pour pôle simple le 

 point 5 = 1. L'expression (i) pouvant, à une quantité finie près, se rem- 

 placer par S =51/^ ' "*'"^ voyons que celle-ci ne diffère de — logC* — O 



que par une une quantité qui reste finie lorsque s tend vers i. 



» Remplaçons maintenant s par s -+- ti. Si le point * = n- /i était un zéro 

 de Z{s), la partie réelle de logC(5 -\- ti), c'est-à-dire à une quantité finie 

 près, l'expression 



(2) P ^V/^ •*cos(^ log/>) 



p 



devrait augmenter indéfiniment par valeurs négatives comme log(5 — 1), 

 c est-à-dire comme — S, lorsque s tendrait vers i par valeurs supérieures, 

 t restant fixe. Soit alors a un angle choisi aussi petit qu'on le veut. Dans 

 les sommes S„, P„, formées respectivement avec les n premiers termes des 

 séries S, P, distinguons deux parties : i" les termes correspondant aux 

 nombres p qui vérifient l'une des doubles inégalités 



(3) ^ J <log/?< (yl-=i,2,...,co), 



ces termes donneront, dans les sommes S„, P„, les parties 8)^, P„; 



» 2° Les termes correspondant aux nombres p qui ne vérifient la double 

 inégalité (3) pour aucune valeur de k et qui donneront les sommes SJ,, PJ,. 



S' 

 )) Pour une valeur déterminée de s, le rapport p„ = ^ a, lorsque n aug- 

 mente indéfiniment, soit une limite, soit des limites d'oscillation. 



)) Si l'équation ^ (n- Z«) = o avait lieu, cette ou ces limites devraient tendre 

 vers I avec s. Autrement dit, p étant un nombre quelconque inférieur à i, 

 on pourrait prendre s assez voisin de i pour que l'inégalité 



(4) p«>P 



fût vérifiée à partir d'un certain rang. 



