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 M En effet, les inégalités évidentes 



p:>-s:„ p;:>-s;:cosa 



donnent 



l'«> — S„ [p„ + (i — p„) cosa]. 



)) Si p„<C p, le second facteur du second membre est plus petit que le 

 nombre fixe p + (i — p)cosa = G, qui est plus petit que i. Si cela avait 

 lieu pour une infinité de valeurs de n, on pourrait passer à la limite et 

 écrire P> — 6S. Or, ceci est contradictoire avec l'hypothèse, ainsi que 

 nous l'avons remarqué tout d'abord. 



)) Cela posé, changeons /en it dans la série (2), et soient Q, Q„, Q^^. Q^ 

 ce que deviennent, dans ces nouvelles conditions, P, P„, P^^, P^^. On a, cette 

 fois,Q;^>S;,cos2a, Q^>~ s; et, par suite, Q„> S„[p„cos2a, — (i — p„)]. 



Si i -ir ti était un zéro de C(*), on pourrait prendre p„]> p > -, — et, 



en passant à la limite pour n =^co, on aurait Q^S[p(i-i- cos 2 a) — 1 ] . La 

 partie réelle Q de log^(s-h2ti) augmenterait donc indéfiniment pa/" 

 valeurs posantes et le point d'affixe i + 2ii serait pour ^ (s) un infini, ce qui 

 n'est pas. c. q. f. d. 



» Le résultat précédent suffit pour démontrer les résultats d'Halphen et 

 de Stieltjes que M. Cahen avait établis dans sa Thèse [Sur la fonction'C (s) 

 de Riemann et sur des fonctions analogues {Ann. Éc. Norm. sup., 1894)] en 



supposant prouvée la réalité des racines de M -+//)• A cet effet, on 



considérera, non pas la fonction (|/(a;)= —r- 1 ^— ^ /" dz envisagée 



par cet auteur, mais la fonction analogue 'K(-^) = ~%: / 'zti ttt\ '^-> où 

 h est un entier plus grand que i; fonction qui est égale à la somme 



(5) {h-i)\ 22 ^^^P '^S*'' (/7f) ^^*< ^'"P Pi'emier, k entier). 



Comme dans le travail de M. Cahen (Mém. cité, n° 32), nous intégrerons 

 le long du rectangle ABCD (Mém. cité, fig. 1 1); mais nous choisirons le 



côté CD de manière que la somme ^ t-^ relative aux zéros de i^(s) com- 

 pris dans le rectangle (s'il y a de tels zéros) soit plus petite qu'un nombre 

 choisi d'avance s, ce qui est possible à cause de la convergence de la série 



