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 y j-^. La somme des résidas de la fonction à intégier, relatifs aux zéros 



en question, sera donc inférieure à tx. Le raisonnement de l'auteur se 

 poursuit alors sans difficulté, jnutatis mutandis, et conduit à la conclusion 

 que ^h{^) «st asymptotique à x. La présence des zéros de '(,{z) intérieurs au 

 rectangle ne modifie point cette conclusion, puisqu'on a pu prendre t aussi 

 petit qu'on a voulu. 



» Faisons A = 2. Dans la somme (5), les termes qui correspondent à 

 yt> I donnent une somme négligeable vis-à-vis de x, ainsi qu'il est facile 

 de s'en assurer : on peut donc prendre 



(6) ii^(x)^^\o^p\o^(-\^x{i + -n). 



n étant aussi petitqu'on veut en valeur absolue pour x suffisamment grand. 

 Changeons x en a;(t + h) et retranchons membre à membre : il vient 



(7) log(i + h)^\o^p + 2 log// log'^^'^y '^ = oc{h + r,). 



7) a la même signification que tout à l'heure; p désigne successivement les 

 nombres premiers plus petits que j;; p' les nombres premiers compris entre 



X et a;(i H- h). Comme '^ ' , est compris entre i et 1 + A, on a en divi- 

 sant (7) par log(i -f- h) 



(8) l'°S/'<wâ 



et, d'autre part, 



X ( h -I- T, ) 



2'»g/^+2'"g/^>iog(. + /,)' 



ce qui, en changeant de nouveau x en x{i + h), s'écrit 



/ \ V" 1 \ X ( /i + T, ) 



(9) l'0g/O (.^;,)j,g(,^;,) - 



.) De ces deux relations, il est aisé de déduire que, pour x assez grand, 

 V log/? est compris entre x{i — i) et x{i -+- e). Il suffit de prendre h tel 



que 1 — - <" ;— ; — -, r- <C -, — 7-^ — TT < I + -' Puls X assez grand 



pour que | -i | <1 - log(i + h). » 



