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» Exemple : p^=3i, i^i5. Sur les vingt-huit produits binaires des 

 huit racines secondaires de 3i, d'exposant i5, huit appartiennent à cet 

 exposant, douze à l'exposant 5, quatre à l'exposant 3 et quatre à l'expo- 

 sant T. 



» Même démonstration pour /i, 6, ... facteurs. 



» Théorème VIII. — Le produit abc de trois racines secondaires a, b, c, 

 de même exposant i, appartient, soit à i, soit à l'un ou à Vautre de ses divi- 

 seurs. 



» La démonstration est la même que pour trois racines primitives. 



» Exemple : p^3i, ?:=i5. Sur les cinquanle-six produits ternaires 

 des huit racines secondaires d'exposant i5, quarante appartiennent à cet 

 exposant, huit à 5, huit à 3 et aucun à l'unité. 



» Corollaire. — Le produit d'i/n nombre impair quelconque de racines 

 secondaires, d exposant impair i, appartient à i, ou bien à l'un ou à l'autre de 

 ses diviseurs. 



» Même démonstration que pour trois facteurs. 



» Exemple : p ^Zi, î:=i5. Sur les cinquante-six produits 5°'''" des 

 racines secondaires d'exposant i5 du nombre 3i, quarante-deux appar- 

 tiennent à i5, six à 5, huit à 3, aucun à l'unité. 



» Les produits ^"p'«' de ces mêmes racines appartiennent tous à l'expo- 

 sant i5. 



» D'où l'on voit qu'au fur et à mesure que s'élève l'ordre de multipli- 

 cité du produit, le nombre relatif des produits appartenant à i s'accroît à 

 son profit, tandis qu'il décroît pour les diviseurs de i. 



Théorème IX. — Le produit de toutes les racines secondaires, quels que 

 soient les exposants auxquels elles appartiennent , est ^ — i (mod/)). 



» En effet,/) étant un nombre premier impair, on a, par le théorème de 

 Wilson : i.2.3.4.-.(fi — i)^^ — i (mod p). 



M Si l'on divise ce produit par celui de toutes les racines primitives, 

 que l'on sait être ss -+- i , le quotient exprime le produit de toutes les 

 racines secondaires, et l'on voit qu'il estE^ — i (mod p). 



» Théorème X. — La somme de toutes les racines secondaires, sans distinc- 

 tion de l'exposant auquel elles appartiennent, est ^o, ou à ±i(mod./9.), 

 savoir .• ^ o, quand p — i est divisible par un carré; ^ + i, quand p — i 

 est le produit d'un nombre impair de facteurs inégaux, e/ ses— i , quand ces 

 /acteurs inégaux sont en nombre pair. 



» En effet, soit : 



S = i -l-2 + 3 + ...+p — I 



