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la somme des/) — i premiers nombres. On sait que S^o(mocl. p.), 

 puisque/» — i est pair. Si l'on retranche de S la somme 2 des racines pri- 

 mitives, S — 2 = 2' sera la somme de toutes les racines secondaires, v 

 compris celle d'exposant i. Or 2 est ^o, — i ou + i dans les trois cir- 

 constances respectives précitées (' ). Donc 2' le sera, respectivement dans 

 les mêmes cas, à o, -i- i ou — i . 



» Théorème XI. — Le produit de toutes les racines secondaires, qui appar- 

 tiennent à un seul et même exposant i, est congru à -\- ï (mod. p.). 



» En effet, on sait que, si uti nombre a <[ i est premier à i, il en est de 



même de son complément a.' = i — v.; d'ailleurs, lorsque i est pair, - n'est 



pas premier à i, sauf le cas de i = 2, que nous regarderons comme exclu. 

 Donc, parmi les i— i nombres i, 2, 3, 4. ...,(i— i), tous ceux i, a, p, 

 y, . .. qui sont premiers à i se partagent en groupes composés chacun de 

 deux complémentaires, tels que a, a.' ; par suite, leur nombre total est tou- 

 jours pair. On en conclut que : 



» 1° Les racines secondaires appartenant à un môme exposant « (aussi 

 bien que les racines primitives) sont toujours en nombre pair, sauf pour 

 i = I et î = 2 ; car elles proviennent, sans exception, des puissances de 

 l'une quelconque a d'entre elles, élevée successivement aux puissances 

 marquées par les exposants i, x, (î, y, .... 



» 2° Ces racines peuvent être associées deux à deux (comme l'a fait 

 Euler) par leurs exposants complémentaires à i, de telle sorte que l'on ait 

 a". a'~" = a'^ i (mod./)) ; d'où l'on voit que non seulement le produit de 

 toutes les racines, en nombre N, est congru à l'unité, comme l'énonce le 



théorème, mais encore que ce produit général se partage lui-même en — 



produits binaires, dont chacun jouit de la même propriété. 



» Quant à la somme des racines de même exposant quelconque i (divi- 

 seur de/)— i), elle est congrue, ào, -f-i ou — i, dans les conditions 

 qu'énonce le théorème X, mais inverses pour ce qui concerne les signes -)- 

 et — de l'unité, parce que la racine p — i, d'exposant a, ne fait plus ici 

 partie de la somme. La démonstration dérive, mutatis mutandis, de celle 

 que Gauss a donnée pour les racines primitives (^Disq., n° 81), et il est 

 inutile de la reproduire. 



» Exemple : p = 19; «^9- — Les six nombres, premiers à 9 et mïè- 



(') Gauss, Discj., n» 81. 



