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 à partir du cinquième degré, comme pour rendre manifeste, sous un nou- 

 veau point de vue, la profonde différence qui sépare les équations des 

 quatre premiers degrés, seules soluhles par radicaux, de celles des degrés 

 supérieurs. Ainsi on a déjà remarqué que la formule générale de transfor- 

 mation 



_ t, y, (.r, i) -+- t t f, (.r, l) -+- . . ■ -+- /„_, ?„_, Q, i) 



n'a pas d'existence effective à l'égard des équations du troisième et du qua- 

 trième degré; mais, ces cas exceptés, je vais donner la définition des n — i 

 covariants qui servent à la composer. 



» Je dis, en premier lieu, que toute forme du degré n admet un cova- 

 riant quadratique du second ordre en supposant n impair, du troisième 

 pour n = 4 ' + 2 > et enfin du cinquième pour n = '\i 4- 8, ce qui exclut 

 le cas de n = !\. 



» On a effectivement, pour les formes du second et du troisième degré 

 («, /;, a) (jc,y) 2 , [a, b, b', a') (x, y) 3 , ces covariants : 



[aa! — b 2 f(a,b,a'){jc,y) 2 , 

 {a 2 a' 2 4- l^nb' 3 + 4a' b 3 - 3b 2 b' 2 - Gaa'bb'Y 

 X [b 2 - ab', bb' - an', b' 2 - a'b) (x, y) 2 , 



d'ordre 2/4-1 et 4*4- 2 ; on en conclut par la loi de réciprocité l'exis- 

 tence, pour les formes de degré ar -H 1 et 4' 4- 2, de covariants quadra- 

 tiques fin second et du troisième ordre. Pour le dernier cas, il est nécessaire 

 de partir des formes du cinquième degré, et je vais établir qu'elles ont un 

 covariant quadratique d'ordre 4' 4- 8. J'opère à cet effet sur le covariant 

 cubique et du troisième ordre, ayant pour expression canonique 



<I) 1 (X,Y) = v / Â(f;.,VÂ-,vÂ-,p.')(X,Y) 3 , 

 avec le covariant linéaire et du cinquième ordre obtenu au § II, savoir : 



A( V 'Â-X + v*Y). 

 On parvient ainsi au covariant quadratique et du huitième ordre, savoir: 



s T'/.'|( s /c-p.)x 2 -( v / ^-/ J .')Y=], 

 et il suffit de le multiplier par A' pour obtenir l'ordre 4c' 4-8, de sorte 



