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 qu'on conclut, par la loi de réciprocité, comme précédemment, l'existence 

 d'un covariant quadratique du cinquième ordre pour le degré l\i -+- 8. 



» Ce résultat peut servir de base pour généraliser la notion des formes 

 canoniques (*) telle qu'elle a été donnée au début de ces recherches; mais 

 actuellement je me bornerai aux conséquences que voici : 



« Désignant par <p (x, y) le covariant quadratique auquel on vient de 

 parvenir, j'observe qu'en opérant sur la proposée avec o {x,y) on obtient 

 un covariant du degré n — i, que je représenterai par -p, (x, y). Cela posé, 

 et en recourant de nouveau au théorème dont il a été fait usage au § VII, 

 le système des n — i covariants du degré n — 2 pourra être défini par les 

 coefficients des termes en % et /j dans l'expression 



» A la vérité, et dès le cas de n = 5, ces covariants ne sont pas ceux qui 

 ont été employés; mais ils présentent cet avantage d'avoir des transformées 

 extrêmement simples, qu'on peut obtenir explicitement si l'on y fait la sub- 

 stitution propre à ramener y ( .r, y) à la forme monôme y ; AXY. Et c'est 

 ainsi qu'on peut démontrer qu'ils sont linéairement indépendants ; mais 

 j'arrive immédiatement, sans m'arrèter à ce point, à mon principal objet, qui 

 est d'obtenir, au moyen des invariants de la forme proposée/ {x,y), le 

 nombre des racines réelles et imaginaires de l'équation f(x, 1 ) = o. 



» X. A cet effet je rappellerai le principe, dû à Jacobi, qu'en réduisant 

 à une somme de carrés, par une substitution réelle, la forme quadratique 



(; d + at { + nH 2 + ... ■+- a"-' /„_,) 2 + (/„-+- bt,+ b* t % + ...+ b'"' ,„_ 2 ) 2 + ... 

 + (f 4- kt i +k-t 2 + ...-+- A" -1 *„-<)*, 



où a,b,. .., k sont les racines de l'équation proposée, le nombre des carrés 

 affectés de coefficients négatifs est précisément égal au nombre des couples 

 de racines imaginaires. Et si l'on fait 



II [x] = t n {x) ■+■ t, n, (x) + . . . 4- t„_, n„_ x (x), 



(') On ne pourrait plus, en considérant par exemple le septième degré, déterminer les 

 coefficients de la transformée § = (a, [t, v, \/7, \fï, •/, fi', a') (X, Y)' en fonction de W = g, 

 p.p' = h, m' = / et /. Il sera nécessaire de joindre à ces quantités, v — v', y. — [/, et même 

 1 — V qui s'expriment facilement par des invariants gauches ; par cela seul on peut juger 

 quelle différence sépare le cinquième degré des degrés supérieurs; 



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