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 7r (x), 7T, (x), ..., -„_, (a?) étant des fonctions rationnelles quelconques 

 de x, le même l'ait a lieu à l'égard de la forme plus générale 



n 2 (rt) + n 2 (6) + ... + n 2 (£). 



Or, en prenant 



„ , , _ tif, (x, r)-\- t,<f,[x, \) -\-...-h f»_, y„_, {x, 1) 



tons les coefficients seront des invariants de f{x,)-) t et par conséquent, si 

 on la réduit à une somme de carrés, ce seront bien des invariants dont les 

 signes détermineront le nombre des racines réelles et imaginaires de l'équa- 

 tion f(x, i) = o. On peut encore observer qu'en posant 



ffi / ~ V _ l <f< ( x < ') -+-'? ?->(■*> ') +■ ■ ■ + /„-, y»-, (.r, ') 

 on aura 



n 2 (n) + n 2 {b) + . . . + n 2 (k) = nt% + $ 2 («) + <d 2 [b) -+-...+ $ 2 (A), 



de sorte qu'il suffit d'opérer sur la forme quadratique an — i indéter- 

 minées 



F = <D 2 (a) -+- et» 2 (b) + . . . ■+- * 2 (A). 



C'est ce que je vais faire clans le cas de l'équation du cinquième degré, en 

 supposant comme précédemment, pour obtenir la réduction à la forme 

 trinôme, 



, , _ <?,(■»-, l) 4-«y,(jr, i) +v^[x, l) -4- «-y, (x, i) 



ce qui donnera 



|dF = [D,* 2 -6BD*l.- D(D,-ioAR)i' 2 ] 



-r-D[- B/r + 2D, «w -+• (9BD - ioAD t )w J j. 



» J'observerai d'abord que le discriminant désigné par D est le produit 

 des carrés des différences des racines, multiplié par le facteur positif 5 5 ,,et 

 on en conclut aisément que la seide condition D < o est nécessaire et suffi- 

 sante pour <pie l'équation possède deux racines imaginaires et trois réelles. 

 Mais l'hypothèse D > o convient aux deux autres cas de cinq racines réelles 

 OH de quatre imaginaires, qu'il s'agit donc d'examiner. 



» Pour le premier, F doit se réduire à une somme de carrés tous affectés 



