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 ou bien 



2T ! -îV 2 -2U 2 + 2W 2 . 



» Nous parvenons ainsi à deux carrés affectés rie coefficients négatifs, et, 

 par conséquent, quatre des racines de l'équation proposée sont imaginaires. 



» Soit, en second lieu, 2jA 2 - 9D > o; deux cas seront à distinguer 

 suivant que A sera positif ou négatif. 



» Dans le premier, les deux racines w sont positives, on est donc comme 



tout à l'heure conduit à deux carrés dont les coefficients sont négatifs. Et 



11 1 -i 1 -î ... , D,&> — BD 

 dans le second cas u en sera de même encore si les quantités — , 



D,w'— BD , . ~ 



— ; sont de signes contraires. Or on trouve 



(D, w - BD) (D, 0/- BD) = - ND, 



d'où la condition 



N> o. 



» Enfin, en supposant N < o, F se réduira à une somme de carrés, dont 

 les coefficients auront tous le même signe, et par conséquent seront positifs, 

 le cas où ils seraient négatifs devant être rejeté comme on l'a déjà vu. Ees 

 conclusions qui précèdent sont ainsi résumées : 



•25A 2 — qD < o, une racine réelle, quatre imaginaires; 

 25A 2 — qD > o, A > o, une racine réelle, quatre imaginaires; 

 25A 2 — qD > o, A < o, N > o, une racine réelle, quatre imaginaires; 

 25 A 2 — qD > o, A < o, N < o, cinq racines réelles. 



» Elles s'accordent avec les résultats auxquels est parvenu M. Sylvester 

 dans le Mémoire déjà cité, et j'observerai, pour en faciliter la comparaison, 

 qu'on a, entre A, B, C et les quantités désignées par J, R, L, A dans ce 

 Mémoire, les relations suivantes : 



J = A, 

 K = - B, 

 qL = C-H AB, 

 A = A 3 - »«*L. 



» Mais la marche que j'ai suivie ne saurait conduire à ce fait, si important 

 et si nouveau en Algèbre, des criteria renfermant un paramètre variable 

 entre certaines limites, et qui me paraît une des plus belles découvertes du 



