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 même extrémité de la barre composée. Ces fonctions sont à deux ou à 

 quatre constantes arbitraires, suivant que le mouvement est longitudinal 

 ou transversal ; et comme les conditions aux extrémités et aux raccorde- 

 ments sont en nombre 211 dans le premier cas et 4'* dans le second, on a 

 tout juste assez d'équations pour éliminer les in — 1 ou 4" — 1 rapports de 

 ces constantes à l'une d'entre elles; d'où l'équation transcendante en m, 

 dont les racines en nombre infini fournissent ses valeurs. Et en combinant 

 ensemble, comme ont fait MM. Liouville et Sturm (1837) pour un autre 

 problème, deux des équations différentielles donnant X, relatives à deux 



valeurs différentes m, m' du paramètre, on obtient de I XXV/x, pour les 



diverses parties, sans avoir à effectuer d'intégrations, une suite de valeurs 

 qui, convenablement multipliées et ajoutées ensemble, ainsi qu'avec des 

 termes relatifs aux corps étrangers, donnent précisément l'équation (4) 



I XX' dp = o, p étant encore le poids total du système; d'où toujours (5) 



pour B et A. 



» 2 Le cas d'une barre hétérogène et non prismatique (mais ayant tou- 

 jours une droite pour axe). Alors on a à résoudre une équation 



J) 



dx- s dt 2 



= O 



où E, -, w, I, Jonctions de .r, sont l'élasticité, la densité de la matière, l'aire 

 et un moment d'inertie de la section transversale. Elle est satisfaite par 



(8) y = ^(Asinm 2 £-t-Bcosm 2 £)X, 

 où X, fourni par l'équation simplement différentielle 



(9) V J** } =m*^X, 



o 



est à quatre constantes, dont les trois rapports à l'une d'elles s'éliminent au 

 moyen des conditions aux extrémités, soit qu'il y ait liberté, encastrement, 

 ou simple appui sur des points fixes; d'où, toujours, une équation four- 

 nissant m. 



» Et, sans avoir besoin d'obtenir l'expression de la fonction X, qui ne 

 sera pas toujours sous forme finie, on trouve facilement, par le même pro- 



