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nous d'étudier la fonction f(x) définie par l'équation 



(i) /(*).= ^./[ffd + xi-fW], 



71=0 



Nous supposons le module de x inférieur à u, et la série qui entre dans le 

 second membre de l'équation (i) convergente pour toutes les valeurs de x 

 en question. 



» J'ai démontré, dans un ouvrage que j'ai publié sur la théorie des rési- 

 dus, que lorsque les différents termes d'une série convergente pour toutes 

 les valeurs d'une variable x contenues dans une aire À étaient des fonctions 

 synectiques de x à l'intérieur de l'aire A, cette série représentait une fonc- 

 tion synectique à l'intérieur de cette aire, que l'on pouvait différentiel' en 

 différentiant chacun des termes de la série. J'ai fait observer aussi que ce 

 théorème cessait d'être vrai pour les valeurs de x situées sur le contour 

 de l'aire A. 



» Il résulte de Là que la fonction f {x) est synectique à l'intérieur du 

 cercle de rayon a décrit de l'origine comme centre, et sa dérivée p iime est 

 donnée par la formule 



lf e ~ 2 i k n [x"o n+ P(a-hx)-h£.nx n - , ? n+ P- , (a-hx) +... 



quand n = p, le dernier terme du coefficient de A„ devient 

 [f(a-hx) - f(a)]p{p -i){ P - i)...2. 

 En sorte que si l'on suppose x = o, la formule précédente donne 



(£?) x=0 = ^ P ( rt ) [ A o + /> A . + P(P -i)A,... + p[p -i)...3.a.A f _ ( ], 

 d'où l'on tire, en vertu d'un théorème de Cauchy, 



\f{x) = k x(?'{a) + {k + aA,) -^9" (*)+.. . 

 (a)l 



\ +[k -^ P k { +p{p-i)k,...+p{p-i)...?>.2k p _ t \ :r £- p9 P{a).... 



