( i4a ) 



Si l'on fait alors 



(3) 



A = A, ou A = A-, 



A H-2A, = A-, A< = - — £, 



o » O A 73 A *(* — l)(2*— i) 



A -f- 3A,4- 3.2A 2 = A 3 , A 2 = -i ^ £, etc., 



A + 4A, + 4-3Ao + 4-3.2A 3 = A 4 , etc. 



on trouve 



(4) /(*) = ?(* + **)•.-?(«)? 



mais cette formule ne sera exacte qu'autant que la série qui entre dans la 

 formule (i) sera convergente pour les valeurs de A , A ( ,... tirées des équa- 

 tions (3). Or observons que si l'on fait 



a = o, <p (x) = e x , 



les formules (i) et (4) donnent 



e kx — i = A (e* — i) + A, (e* - i) + . . . , 



et A , A,, A a ,... sont les coefficients du développement de 



e kl — i 



en sorte que l'on a 



/ d" <*' — 1\ 

 ( 5 ) n ~\diP~ë=l) x =o' 



Or la fonction ~ est synectique à l'intérieur d'un cercle dont le rayon 



est 27T décrit de l'origine comme centre. Cette fonction est toujours mono- 

 drome et tnonogène : donc son développement cesse d'être convergent 

 quand le module de x est 27î; donc la valeur de A„ qui satisfait à l'équa- 

 tion (5) satisfait aussi à la formule 



lim -— x 2 7r = i , pour n = co , 



ou 



6) lim— - = — • 



