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 Ceci posé dans la série de la formule (i), le rapport d'un terme au pré- 

 cédent a pour limite 



, A n+I T «+' (« + *)- ?»«•'(«) 



lull — — • X • ; ; ; — ; 5 



A„ f{a + x) — <p"(a) 



ou bien, en vertu de l'équation (6), 



li m — • - — ! — — - • 



1-K <j>" (a -f- .r) — ip"(fl) 



Si cette quantité a un module moindre que i, quand le module de x est 

 moindre que u, la série de la formule (i) sera convergente et la combi- 

 naison des formules (i) et (/j) donnera 



d n e kl - 



(7) ? (a + kx)- 9 (a) = £ ^-— T ^^x"[f(a + x)-f(a)]. 



n:=o 



Pour k = 1 on retrouve la formule de Stirling. La formule d'Euler, celle de 

 M. Boole se démontreraient de la même manière. 



». Nous allons maintenant montrer comment on peut appliquer cette for- 

 mule à la résolution des équations. Soient a + xetrt deux valeurs appro- 

 chées de la racine a -+- kx de l'équation 



y (z) = o. 

 Dans ce cas on a 



f (a -h kx) — o, 

 et la formule (7) donne 



(8) o =: f (a) -+- k [f {a h- x) — <p (a)] -h.... 



Nous pouvons prendre k pour nouvelle inconnue, et, si les limites a + x 

 et a sont convenablement resserrées, on pourra à l'équation (8) appliquer 

 la formule de Lagrange, ce qui donnera 



4 <f( a ) _ x j A,[ y V +*)-/(«)] + A,g[ T »(«-t-<)- T »( fl )] + ... ) 



+ _fl D ( A,[<p'(a-f- g)— ?'(«)] 



1.2 ( if (a +x) — <p 





