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 » Employant avec M. Sylvester (*), afin d'abréger, le symbole Ç(rt, b,..., g) 

 pour désigner le produit des carrés des différences des racines a, b, . . . , g, 

 je poserai 



♦-▼2ï=ï' 



-b) r 

 b) * 



(x' — a) (.r'— 6) (.r'— r) 



»-° v z *,:::r; ««■*)■ 



tf„ = (x' — a)(x' — b) . . . {x' — k) Ç {a, b,c,...,k), 

 de sorte que —^ sera l'invariant de la forme quadratique 



2 1"^ ('<> + «', + « 2 ' 2 + • • • + a 1 U)\ 



» De la. on conclut déjà, d'après le principe de Jacobi (**), que le nombre 

 des variations de la suite 



(i) V, \'\, %,..., <?„ 



est égal au nombre des racines réelles de l'équation V = o comprises 

 entre x et x' , plus le nombre des couples de racines imaginaires. Cette der- 

 nière quantité se déterminant en faisant x = x', on voit que les nouvelles 

 fonctions qui sont à deux variables remplissent le même objet que celles de 

 Sturm. J'ajoute qu'elles ont absolument les mêmes propriétés, et bien que 

 je n'aie pas à les employer ultérieurement, j'indiquerai, à cet égard, les 

 propositions suivantes. 

 » Soit 



<?,-= A,x"- t -r-B J -a: B -'-- 1 -+ ...; 



les coefficients A t , B,-, . . étant des polynômes entiers en x' du degré /, on 



(*) On a Thcory of the syzygetic relations, dans les Transactions philosophiques île 1 853, 

 p. 45 7 . 



(**) Ubcr ttlnen algebraischen Fundamentalsatz nnd seine Anivendungen [Journal de 

 Crelle, t. L); voyez aussi une Noie de M. Borchardt faisant suite à l'article de Jacobi. 



