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 aura entre trois fonctions consécutives, <?,■_!, <?|, \ C) /+n 'a relation suivante : 



A? <?;_, - [A,_, Ai x + (B,-, A,- - A { _, B,)]<9, + A:_, V M = o. 



» On voit ainsi qu'elles pourront de proche en proche s'obtenir tout en 

 partant des deux premières, \ r ' ou bien V qui est le premier membre de 

 l'équation proposée, et *?, dont voici l'expression. Supposant que V soit 

 donné par le fonction homogène y (.r, jr) pour y = i, on aura 



en faisant rie même y = i . 



» C'est donc uniquement dans l'introduction de cette quantité à la place 



de la dérivée V, == -y- que consiste la modification apportée aux fonctions 



du théorème de Sturm, et, pour bien en montrer l'effet, je vais employer 

 succinctement le mode de démonstration de ce théorème fondé sur des con- 

 sidérations de continuité, en laissant fixe la quantité x' et faisant croître x 

 de x à X. Partant pour cela de l'équation 



v " 2* x 



je remarque si x' est en dehors de ces limites et supérieur à X, par exemple, 

 <?, se comporte exactement comme la dérivée V ( . D'ailleurs, quand une 

 fonction intermédiaire quelconque \ r ',- s'annule, *?,-_, et '<?,+, sont de signes 

 contraires; donc l'excès du nombre des variations de la suite (2) pour 

 x = x , sur le nombre des variations pour x = X, est égal au nombre des 

 racines réelles de l'équation V = o, qui sont comprises entre x et X. En 

 supposant x'<x , on pourrait encore raisonner de même, mais en faisant 

 décroître x de X à x . Enfin, quand x' est compris entre x et X, on trou- 

 vera que l'excès du nombre des variations pour x = x sur le nombre des 

 variations pour x = X représente le nombre des racines réelles comprises 

 entre x et x , moins le nombre des racines comprises entre x' et X, et ces 

 résultats s'accordent évidemment avec l'énoncé donné plus haut. 

 » J'indiquerai, en second lieu, la relation 



(2) <?, +1 = W|<? < -U|V, 



W, et U| étant des polynômes rationnels et entiers en x et x'. Le premier W, 



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