( -Go ) 

 est l'invariant de la forme quadratique 



^ (.v — a) [x' — a) (l + al, + a 2 1., -+- . . . -+- a'"' /,_,)% 

 de sorte que la suite des polynômes à deux variables 



i, w ( , W 2 ,:.., w„ 



donne par les variations, absolument comme la suite des fonctions <?,-, le 

 nombre des racines réelles comprises entre x et x', augmenté du nombre 

 des couples de racines imaginaires. Pour avoir l'expression de U,, soit 



0(p) = {a — p){a— x') -h (b — p) (b — x') + . . . 



+ (k — p){k — j?')=2(« — p){a-^- x % 



el de même 



5 (/>» </) =2 ( fl — /') ( a - f j)( a - x ')' 



5 ■/'> 7> '') = 2 ( a ~ / ; < i rt ~ 7) (" _ r ) ^ ~ •*')' 

 et ainsi de suite. On trouvera ainsi 



^ = [2 (OB' -«)]", 



U 2 = 2(o;-rt)(a'-a)$ 2 (a), 



U, = 2(jc - a)(ar - ô).(a/ - <x) (a/ - A) £.(o, &)0 5 (fl, 6), 



u « = ^ (•*' - ") r - b ) (* - . (.r — n i (*' - fc) (a' - c) Ç (fl, 6, f) S 2 (o, 6, c), 



» La loi de ces expressions est évidente, et bien que dans l'équation (2) 

 l'indice i ne doive pas surpasser 11 — 1, on peut néanmoins les continuer 

 jusqu'au terme U„ qu'on trouve aisément avoir pour valeur V, <?„, On 

 obtiendrait de même d'ailleurs 



W„=V<? n , d'où \'<„ +l = o, 



i Minme on pouvait effectivement s'y attendre. Mais c'est la relation 



- W„_, <?, - U„_, V 



