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Z„ Z,, Z 4 en contient /x qui passent par un point quelconque, et v qui 

 touchent une droite, u, et v s'appellent les caractéristiques du système. 



» Je désigne : i° par C m ,„ la condition de toucher une courhe géomé- 

 trique de l'ordre m, de la classe n, avec d points doubles et d' points de 

 rebroussement, avec t tangentes doubles et t' tangentes d'inflexion (*); 



» 2 Par 2C m ,„, 3C m ,„, 4C,„,„, respectivement, les conditions de deux, 

 trois ou quatre contacts avec une même courbe C, n> „; 



>. 3° Par (C,„,„) 2 , (C m ,„)% (C m ,„) 4 , respectivement, les conditions d'un 

 contact du deuxième, du troisième ou du quatrième ordre; 



» Et 4° par C, n> „*0, (C, n> „) 2 /5', respectivement, les conditions d'un con- 

 tact du premieroudu second ordre en un point donné : par (2C mi „i6), etc., 

 la condition d'avoir deux contacts dont l'un dans un point donné, etc. 



» Le Mémoire contient les résultats suivants : 



h}'." m , m s + p." ( m, n^ -4- nu n t ) -H [l'n, n 2 , 



ou 



[j! = 2/7/ (m -4- n — 3) -t- t, 

 p." = v' = a m (/» + 2B-5)+2«, 

 p.'" = v" = 2 « (2 m -+- n — 5) -+- 2 7/, 

 v'" =27/ (/h -I- « — 3) ■+■ d (**). 

 2 (3C„,,„, €,„„„,) = (rT m, + p.'»,, v"wi, -+- v'/i,), 



ou 



[}.' = \ \im 3 +Giirii — ii 3 — 3o/// 2 — i87H/i-r-i3« 2 +84/« — 4a « 



H- (G/77 + 3// — 26) /:], 



jx" = v' = g jf/77 + 77! [— (/// + n)* — 7 (m -+- 77) + 48] + 4 '»" [3 (m + 7/) — ; 3] 



+ 2(7/4- e) [3 (/«-+-»)— 20)]}, 



V" = I [— ?//'+ tW///7 2 + 2// 3 -f- l3//7 2 — 18/// 77 — 3o/7'— 4 2 '77 -f- 84/7 



+ (3 /77 + G 77 — 26) d] . 



3° (4C, n ,„) = (/J.,v), 



(*) Lorsque les coniques d'un système doivent toucher plusieurs courbes, on les distingue 

 par des indices, par exemple C,,,,, „,, C m „ n>1 etc. Les six nombres m, n, d, d', t, t' doivent 

 satisfaire aux équations de M. Plucker. 



(**) Après avoir trouve ces formules, j'en ai vu une confirmation dans la correspondance 

 de M. Cremona, qui est insérée dans les Comptes rendus Au 7 novembre 1864. 



