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 » Ils sont encore en vigueur lorsque deux ou plusieurs courbes données 

 coïncident de façon que les coniques du système doivent avoir un contact 

 double ou multiple avec une courbe donnée; mais dans ce cas les coniques 

 singulières que nous venons d'indiquer ne sont plus les seules. Le système 

 (aC m , B , C„, itni , C mj ,„J contient encore les infiniment aplaties que ren- 

 ferment les tangentes d'inflexion de C,„ t „, et qui sont limitées par un des 

 points où elles rencontrent Cm 1)Bi et par un de ceux où elle rencontre C„, t i „ ] . 

 On introduit en X le nombre de ces coniques singulières (et en tz celui des 

 coniques analogues douées d'un point double) suivi d'un coefficient indé- 

 terminé x. Puis on trouve, pour les caractéristiques du système 



( 2 '- J m ) «) *-'m l ,ri t i MHj.nJ) 



des expressions qui contiennent encore x. 



» Si nous désignons par p la condition de passer par un point donné, 

 par / celle de toucher une droite donnée, les systèmes (2C m> „, p { , p 2 ), 

 (aCm,jj} p, l) seront des cas particuliers du système actuel. La caractéris- 

 tique v du premier de ces systèmes devant être égale à la caractéristique p. 

 du second, on pourra déterminer le coefficient x. Il deviendra égal à 3. 



» Les coefficients trouvés se conservent pour les systèmes 



On en trouve donc sans difficulté les caractéristiques. Dans la formule 



\\S-'m,it)" i *■ '/»,,«,) L 1 ™../!,]" 



ou 



[j.'"i>!,m 2 -+- \)" (in,n 2 -h m 2 n t ) -+- p.'n,n 2 , 

 v M m t m 2 -j- v" (m, » 2 + rn 2 n t ) -+- v'n t n s 



p' = ^ (xni -t- 2jn -+- ud'-h vt'), 



v 



(xm -+- iyn -+- ud' -\- vt'), 



F 



"==\\z(m+ 2b) + s(2d' + «')], 



x, y, z, n, v, s étant des coefficients indéterminés qui doivent être entiers 

 et positifs, en remplaçant Gm i>ni et C mjjBl , successivement, par deux points 

 et par un point et une droite, on trouve 



N[(C„,,„)% /;„/;„ l] = p." = v '. 



