( i83) 

 Cette équation se décompose en 



2 3C — z= i [iy — z) = 3 (s — îf) = 6 (« — s). 



» Par d'autres procédés on trouve que 



N [(M) 2 , p„ p 2 , p 3 ] = 6m — 6, 



où nous avons désigné par (M) 2 la condition d'un contact du second ordre 

 avec une courbe de l'ordre m et douée d'un point multiple de l'ordre m — i. 

 » Or les formules déjà trouvées donnent, dans ce cas particulier, 



N [( M )% Pn p-2, p 3 ] = \(x+hj+ 3v)m — ^(/ir-^6v). 



» Les deux expressions devant être égales, on aura 



x -+- 4/ + 3i»= 18, 2j--i-3t> = 9. 



» Les équations trouvées suffisent pour trouver les six coefficients qui 

 doivent être positifs et entiers. 



» Ces exemples montrent les procédés dont on se sert dans le Mémoire 

 actuel . » 



ANALYSE mathématique. — Sur la théorie des fonctions abéliennes. Note de 

 MM. Clebsch et Gordan, présentée par M. Hermite. 



« La théorie des fonctions abéliennes, dont la partie relative aux fonc- 

 tions hyperelliptiques a été donnée en i853 par M. Weierstrass, et le déve- 

 loppement complet en 1857 par M. Riemann, est néanmoins susceptible 

 d'une grande simplification en ce qui concerne les principes fondamentaux 

 sur lesquels elle est basée. Nous sommes parvenus à mettre, au lieu des 

 principes transcendants et profonds de M. Riemann, quelques considé- 

 rations simples et élémentaires, et nous établissons cette théorie d'une 

 manière tout à fait nouvelle, qui n'exige qu'une série de théorèmes géo- 

 métriques connus et les théorèmes sur l'intégration entre des limites 

 imaginaires donnés il y a longtemps par MM. Cauchy et Puiseux. En 

 appliquant ces principes aux intégrales algébriques, nous obtenons une 

 combinaison d'intégrales de troisième espèce qui ne devient jamais infinie 

 qu'avec le signe négatif et qui ne diffère que par une constante additive 

 de log ô. Nous oserons soumettre à l'Académie, dans ce qui suit, un abrégé 

 des méthodes qui nous ont conduits à ce résultat important. 



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