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» Nous nous servons d'une double représentation géométrique. Une 

 fonction homogène f(x t x 2 x t ) = o représente une courbe plane du 

 degré //, et l'intégrale 



r *2±c, x dx, 



X\ — • 



(voir le Mémoire de M. Aronhold dans les Berliner Monatsberichte, séance 

 du 25 avril i8br), dans laquelle $ est une fonction entière ou fractionnaire 

 du degré n — 3, se réduit, à l'aide de l'équation f= o, à l'intégrale d'une 

 fonction d'une seule variable, dont les irralionnalités ne dépendent que de 

 l'équation f= o même. En posant x,5 x égaux à des fonctions fractionnaires 

 linéaires de x t , x 2 , x 3 , on obtient, au lieu de f= o, une équation 

 F [s x ,x) — o, qui donne s x comme fonction de x, et M comme intégrale 



de la forme J Y (s x , x) dx. Nous considérons comme limites des intégrales 



deux points donnés de la courbe /=o; mais pour définir les manières 

 différentes de parvenir d'un point limite à l'autre, nous représentons ces 

 deux points, ainsi que tous les points de la courbe /= o, par les points 

 d'un plan dont les coordonnées sont la partie réelle et imaginaire de la 

 variable x, et par la racine convenable s x qu'on doit combiner avec cette 

 variable. 



» Nous démontrons qu'on peut réduire toute intégrale & à une combi- 

 naison d'intégrales abéliennes de première, seconde et troisième espèce. 

 Pour les intégrales I de première espèce, la fonction <i> devient une fonction 

 entière du degré n — 3 ; si la courbe f— o a des points doubles ou de 

 rebroussement, la courbe = o passera par ces points. Il y a p intégrales 1 



i i " — ' • " — 2 i ■ 'i 



indépendantes entre elles, /; étant le nombre diminue au 



nombre d des points doubles et du nombre r des points de rebroussement. 

 » Pour les intégrales S^, de troisième espèce, la fonction <ï> a cette expres- 

 sion : n , £ y, étant les deux seuls points pour lesquels l'intégrale 



ï ± x, Ç, », 



devient infinie. La courbe û = o, du degré n — 2, passera par les points 

 doubles ou par les points de rebroussement, et par les n — i points où la 

 courbe /'= o est coupée par la droite joignant les points 2, Y). La forme 

 algébrique que nous avons donnée à la fonction 12 fait que l'intégrale S ?) , 

 se réduit à — log2 ± x, £, ■/}, lorsque le point x se rapproche de S, et à 

 cos2 ± x, £., r l3 lorsque le point X se rapproche du point v). L'intégrale S f „ 

 est complètement définie, à une intégrale de première espèce près. 



