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 » L'intégrale de seconde espèce est donnée par l'équation 



r/S, dSj. dS gjl 



E f = «,-# + «2 -Tr + ^-TT' 



? C/Ç, </?2 «?3 



les quantités a étant constantes convenablement choisies, ou par 



% étant la valeur de x correspondant aux points £,,£,, £ 3 . 



» Nous prouvons d'une manière tout à fait élémentaire que les p inté- 

 grales I, choisies d'une manière quelconque, ont 2]> systèmes de modules 

 de périodicité. Soient 



m n m 2 ,..., m. ip , n t , « 2 ,..., n îp 



les modules correspondant à deux quelconques des intégrales I, on a tou- 

 jours une équation de la forme 



i, k = -xp 



(i) 2 c ik m i n k = o, 



i, k — I 



dans laquelle les c ik sont des nombres entiers qui ne dépendent pas des 

 intégrales choisies; on a c ik = — c ki , et le déterminant des c ik est égala l'unité. 

 Cette propriété remarquable fait qu'on peut ramener les modules à un sys- 

 tème de modules nouveaux qui dépendent des premiers par des équations 

 linéaires à coefficients entiers dont le déterminant est l'unité. Soient 



H„ f- 2 ,..., [J. 2p , v,, v 2 ,. .., v 2p 

 les modules nouveaux correspondant aux m, n, l'équation (i) devient 



i=p 

 (2) 2 (FfVi-- v '-r l /H-i) = °- 



Alors on peut prendre, au lieu des intégrales I, /; intégrales complètement 

 définies, u,, u 2 , ... , u p , ayant pour modules correspondants les quantités 



u, \ 27iy — 1, o,..., o, a,„ rt 12 ,..., rr, p , 



ll 2 ! O, 271 y — 1,..., o, <7 2l , rt 22 ,..., tl ip , 

 • > 



u 2 ; o, o, ..., 27ry'— 1, a pi , a p2 ,..., a pp1 



