du sixième degré. Si l'on pose 



A = A 2 + A, A,, 



B = 8A*A,A 2 - 2 A"-A\Al + A^Al- A (K\-h Al), 



C = 32oA«A 2 A 2 - iGoA^AJA3+ 2 oA? A* A* + 6A^ A* 



-4A (32A*-aoAgA 1 A a +5AÎA^(A B 1 + Ai)4-A 1 1 °-l-A^ , 



elle aura cette forme remarquable (*) : 



(a?-A) s (x- 5A)+ ioB(x- A) 3 - C (x - A) + 5B a - AC = o. 



» Un second résultat extrêmement important est dans l'abaissement de 

 cette équation au cinquième degré (**). Les expressions données par la for- 

 mule 



J'y — = \Xco x v ) yOC.j^-i — x v — , j yjc.j^-2 — &•? — 1)1 



l'indice v étant toujours un nombre entier pris suivant le module 5, sont 

 en effet les racines de l'équation suivante, où 5 5 H représente le discri- 

 minant (***) de la proposée, savoir : 



j s -2oBj*+ 10 (3B 2 — AC)^* + 2oB(5B 2 - AC) / 2 

 + 5(aiB 4 — 2GACB 2 + 5A 2 C 2 )j + ^ = 0. 



Enfin cette réduite peut être simplifiée, et, en posant \ly = /\X, M. Brioschi 

 parvient ultérieurement à ce beau résultat (****) ; 



. 5B . 5(qB J — AC) 1 4 — 



X 5 ô- X 3 H ^— g X + -p Vil = O. 



o 10 4 



Il sert en effet d'origine à ces équations remarquables du cinquième degré 

 dont les racines s'obtiennent sous forme explicite à l'aide des transcen- 

 dantes elliptiques, et qui, à cet égard, offrent deux cas principaux. Le pre- 



(*) M. Rroneckek, Uber die Gleichungcn fiinften Grades [Journal de Crelle, année 1861). 



(**) Le cas particulier de l'équation M et k avait été pour la première fois obtenu par le 

 P. Joubert. [Comptes rendus, séance du 12 avril i858.) 



(***) On trouve aisément, pour A = o, n = 5 5 (C 3 — I2 3 B S ) : ; et pour B = o, 

 n = 5 s (C 3 -f-2 6 C 2 A s ) 2 . 



(****) N° 5 des Annali di Matcmatica, année i858. 



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