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 mentales me paraissant avoir été successivement découvertes par les deux 

 auteurs. Je citerai surtout ce qui concerne les résolvantes de l'équation gé- 

 nérale du cinquième degré, dont les racines ont la forme donnée par les 

 équations (i). J'ai étudié avec admiration l'analyse donnée par M. Brioschi 

 sur ce point si important, et elle me servira de base pour les considérations 

 que je vais exposer. 



» XIII. Désignons par g„, l'indice étant un nombre entier pris suivant 

 le module 5, les racines de l'équation (a, p, 7, 7', /3', «') (£, i) 5 = o, de 

 manière à représenter par ces formules de M. Betti, savoir : 



où a, b, c sont également des nombres entiers pris suivant le module 5, 

 les 120 permutations de ces racines. Elles se décomposent en ces deux 

 groupes de 60 permutations conjuguées, savoir : 



h I jj |?3a 5 v-+-i ( 



-a- v- 



-I' 



de sorte que toute fonction rationnelle des racines, invariables par les sub- 

 stitutions d'un de ces groupes, n'aura que deux valeurs distinctes, et s'expri- 

 mera rationnellement par les coefficients de la proposée et la racine carrée du 

 discriminant. Considérant désormais comme quantité adjointe cette racine 

 carrée, on pourra se borner aux subtitutions I, et les fonctions des racines 

 dont nous allons surtout nous occuper, qui ont seulement six valeurs, seront 

 caractérisées comme ne changeant pas par les substitutions ^ a ,, jH _ b . Soit 

 donc it = F (£ , £,, £,, £ 3 , £,) une telle fonction, et u n ce qu'elle devient en 

 remplaçant £, par£ 3j/ , , n , les six valeurs qu'elle pourra prendre pour les 

 Go permutations I seront u, u , u t , u 2 , u 3 , u k , et le système de ces quan- 

 tités donne lieu à la remarque suivante. Convenant de représenter la pre- 

 mière par u x , et les autres par w„, l'indice étant pris suivant le module 5, 

 on vérifiera très-facilement qu'aux substitutions 



?» ) |S» ) 



iÇ» 



(A) (i, + ,r 1&,)' u,,.) 



correspondent 



(m ("» I )»- I ("») 



{'1',+,) \>u») ) u i\ 



Mais les substitutions (A) répétées donnent toutes celles des formules I, 



