( 25o ) 



et il est visible qu'en composant entre elles les substitutions (B), on trou- 

 vera pour résultat l u an+ j, [> a i b, c,d étant des entiers pris suivant le 



( cn-i-d ! 



module 5 et tels que ad — bc est résidu quadratique. On voit donc que le 

 groupe de l'équation en u, dans le sens de Galois, est le même que celui de 

 l'équation modulaire du sixième degré; mais cette remarque, que j'avais 

 déjà indiquée (*), n'est qu'un premier pas vers un résultat beaucoup plus 

 important donné ainsi par M. Brioschi. 



» Supposons qu'au lieu d'être invariable par les substitutions Ç a>v+l i la 

 fonction des racines qu'on vient de désigner par u soit cyclique, mais 

 change de signe quand on y remplace £ v par £, ; on trouvera qu'aux deux 



, • • /AX I . ' Il • ( "<> I i "'< \ 



premières substitutions (A) correspondent celles-ci : >, , 



et que le résultat de la troisième est représenté ainsi : 



\ « M «o "l U 2 «3 "4 | 



i "0 «a, — ,l \ "» «2 — «4 1 



Cela posé, faisons dans les relations (1) du paragraphe précédent : 



A v'5 = k„ v 5 4- k 4- A, 4- A 2 4- À- 3 4- k A , 

 - A, \/5 = A 4- p u A-, 4- p 8 A a + p 3 A-' 3 + pA*, 



i A 2 »/5 = A- -+- p/c, 4- p 2 A\ 4- p 3 À- a 4- pU-.,, 



p étant une racine cinquième de l'unité, satisfaisant à la condition 



i/5 = p 4- p" - p 2 - p 3 , 

 et elles deviendront 



\[x^ = A œ y/5 + A -+- A, 4- A-, 4- A 3 + k t , 

 jx~ = A œ -4- A- oS 5 - A, + /- 2 + Ht - A\„ 

 v_ x\ = A'^ — /*„ 4- A-, \ 5 — A 2 4- A 3 -+- A*, 

 \jxl = A K + A- n — A-, 4- A- 2 \ 5 - A, 4- A,, 

 J~x t = k^ 4- A 4- A-, — A, 4- A 3 v ■"> — ^4j 

 s fe] = k x — k 4- A, 4- A 2 — A :i 4- A Â \J5 . 



(*) Sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées [Cambridge and Dublin 

 Mathcmatical Journal, année l854)- 



