( 2 53 ) 

 on trouvera immédiatement 



v/S^"-Y^ = aS, ^/x~+V3ê==a(i/5+i)Ri 



y/x^ — \/.r 4 = 2T, v'^t + V^\ == 2 (v5 -+- i)S, 



\lx 2 — \jx t = — a(v/5 4- i)T, V-^s ■+■ S^a — aB, 



et l'on en conclura z = sRST, s désignant un facteur numérique. 



» De cette expression rationnelle par rapport aux diverses quantités /.„, 

 on déduira ensuite une autre racine quelconque z.,, en effectuant la substitu- 

 tion ! ," j. Ce résultat montre qu'en faisant &„=«„, le produit RST, qui 



devient alors une fonction rationnelle des racines £ , S,,^ 2 , £ 3 , £ 4 , est sy- 

 métrique par rapport à quatre d'entre elles, et peut s'exprimer rationnelle- 

 ment en £ , au moyen des coefficients de l'équation et de la racine carrée 



du discriminant. Effectivement, la substitution \ \, par laquelle z., se 



déduit de z , s'obtient, comme on l'a vu dans le paragraphe précédent, en 

 faisant sur les racines | la permutation circulaire qui consiste à ajouter le 

 nombre v aux indices. Cette propriété singulière et si remarquable du sys- 

 tème des valeurs de la fonction cyclique désignée par u, se retrouverait 

 encore dans le produit de ces trois facteurs où w est arbitraire, savoir : 



R = « 00 4- w + w(tt a + H„), 



S = «, + « 4 + &>(««,— «0)» 



T= it 3 — u 2 + w{n, — u A ). 



» Ainsi on reconnaît que les substitutions 



( S ) \ £ J 1 s ) 



j y (> ) y h { y \> 



\ ?/ r , ) ( Ç 3v J ' ( 5(2»H-2J«— 3 ) 



donnent pour résultats 



( R, S, T ; (R, S, Tj j R, S, T j 

 | -R, -S, T J' j R, -S, -T \' ( -T, R, -S |' 



» Mais nous proposant d'approfondir cette nouvelle formule de trans- 

 formation qui ramène à l'équation (2) l'équation générale du cinquième 



degré, nous supposerons toujours dans ce qui va suivre u =■ 



C. R., 186C, 1 er Semestre. (T. LXII, N° GO 



2 



33 



