( 3a6 ) 

 deux caractéristiques, comme dans la théorie des coniques. Mais ce qui 

 manque principalement, pour que la théorie des courbes d'ordre supérieur 

 soit aussi complète, ou du moins aussi avancée que celle des coniques, c'est 

 de connaître le nombre des courbes qui satisfont aux conditions élémentaires 

 de passer par des points et de toucher des droites : en d'autres termes, 

 c'est de connaître les caractéristiques des systèmes élémentaires de chaque 

 ordre de courbes. Il est probable que la connaissance de ces caractéristi- 

 ques, pour un ou deux ordres déterminés, mettrait sur la voie de la loi gé- 

 nérale pour un ordre quelconque, de même que quelques exemples numé- 

 riques du binôme de Newton suffisaient pour dévoiler la formule générale. 

 Il y a donc là un but de recherches bien digne de fixer l'attention des géo- 

 mètres; car il s'ensuivrait une formule générale qui exprimerait le nombre 



des courbes d'ordre m, satisfaisant à '—— conditions quelconques, et 



comprendrait ainsi la solution immédiate d'une infinité de questions. Ce 

 qui serait un résultat merveilleux. 



» Mais je veux indiquer, dans ce moment, certaines difficultés qui doivent 

 se présenter dans la recherche des propriétés d'un système de courbes déter- 

 miné par deux caractéristiques. 



» On a vu que, dans la théorie des coniques, un élément de difficultés 

 graves provenait des coniques exceptionnelles, ou quasi-coniques, représen- 

 tées par deux droites ou par deux points. Les questions les plus simples 

 n'étaient point affranchies de ces difficultés; car on ne parvenait pas même 

 à déterminer le nombre des coniques passant par deux points et touchant 

 deux droites et une conique. C'est qu'il fallait connaître le nombre théo- 

 rique des coniques exceptionnelles, dans chaque système exprimé par deux 

 caractéristiques. Les difficultés ont disparu, dès que l'on a connu ces deux 

 nombres, qui sont toujours (zv — [j.) et (a/x — v ); \x et v représentant les 

 deux caractéristiques du système (*). 



» Dès lors une question se présente naturellement. Y a-t-il dans les 

 systèmes de courbes d'ordre supérieur des causes de difficultés analogues 

 à celles qui proviennent, dans les systèmes de coniques, des deux sortes de 

 coniques exceptionnelles? Y a-t-il quelques fonctions des deux caractéristi- - 

 ques, analogues aux fonctions (ap. — v) et (av — /j.), qui puissent servir à 

 lever les difficultés'.' Quelles sont les particularités inhérentes aux courbes 

 d'un système, dont ces fonctions seront l'expression? 



(*) Comptes rendus, t. I.VIII, p. ii-3. 



